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Questão de Matemática — Trigonometria — FUNDATEC 2025

MatemáticaTrigonometria
Código
qg486824
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Viamão - RS
Ano
2025
Nível
Superior
Considerando que sen(x) = 5/13 e que x está no primeiro quadrante, qual é o valor de cos(x)?
  1. A14/13.
  2. B12/13.
  3. C11/13.
  4. D10/13.
  5. E8/13.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 12/13.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a cos(x) = 12/13, alternativa B..

A ideia por trás

A trigonometria estuda as relações entre os lados e ângulos de um triângulo retângulo. O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, e o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. A relação fundamental da trigonometria afirma que, para qualquer ângulo, o quadrado do seno somado ao quadrado do cosseno é sempre igual a 1: sen²x + cos²x = 1. Isso significa que, se conhecermos o seno, podemos descobrir o cosseno (e vice-versa) — e o sinal depende do quadrante em que o ângulo se encontra. Nesta questão, temos o seno e sabemos que o ângulo está no primeiro quadrante, onde tanto seno quanto cosseno são positivos. Portanto, basta aplicar a relação fundamental e extrair a raiz quadrada, escolhendo o sinal positivo.

O que a questão dá

  • sen(x) = 5/13

  • x está no primeiro quadrante

O que queremos: o valor de cos(x)

Passo 1 — Elevar o seno ao quadrado

A relação fundamental envolve o quadrado do seno, então precisamos calcular (5/13)² antes de substituir na fórmula.

Por que esta fórmula: Para elevar uma fração ao quadrado, elevamos numerador e denominador separadamente.

((5)/(13))^2 = frac5^213^2

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: sen(x) = 5/13 · 1313 = enunciado: sen(x) = 5/13

frac5^213^2 = (25)/(169) = 25\ /169
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar o denominador também, resultando em 25/13.

Passo 2 — Isolar o cosseno ao quadrado

Com o valor de sen²x, usamos a relação fundamental para encontrar cos²x. A relação fundamental diz que a soma dos quadrados é 1, então subtraímos o sen²x de 1.

Por que esta fórmula: A relação fundamental é a identidade que liga seno e cosseno: sen²x + cos²x = 1. Isolando cos²x, temos cos²x = 1 - sen²x.

cos⁡2x=1−sen2x\cos^{2} x = 1 - \text{sen}^{2} x

De onde vem cada valor: 11 = relação fundamental: sen²x + cos²x = 1 · sen2x\text{sen}^{2} x = passo 1: 25/169

cos⁡2x=1−25169=144 /169\cos^{2} x = 1 - \frac{25}{169} = \boxed{144\ /169}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair os números diretamente (13 - 5 = 8) em vez de usar os quadrados.

Passo 3 — Extrair a raiz quadrada

Temos cos²x, mas queremos cos x. A raiz quadrada desfaz o quadrado. Como x está no primeiro quadrante, o cosseno é positivo, então usamos o sinal positivo.

Por que esta fórmula: A raiz quadrada de uma fração é a raiz do numerador sobre a raiz do denominador.

cos⁡x=144169=144169\cos x = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}}

De onde vem cada valor: 144144 = passo 2: cos²x = 144/169 · 169169 = passo 2: cos²x = 144/169

cos⁡x=1213=12 /13\cos x = \frac{12}{13} = \boxed{12\ /13}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de considerar o sinal positivo no primeiro quadrante, ou errar a raiz (por exemplo, achar que √144 = 11).

Resposta: cos(x) = 12/13, alternativa B.

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