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Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — INSTITUTO AOCP 2025

Raciocínio LógicoDiagramas de Venn (Conjuntos)
Código
qg538748
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
CODERN
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Analista Técnico Administrativo - Contador
Um estudo hipotético sobre a movimentação de cargas no Porto de Maceió analisou apenas três tipos de produtos: açúcar, soja e fertilizantes. De um total de 240 navios analisados, 110 transportavam açúcar, 80 transportavam soja e 70 transportavam fertilizantes. Sabe-se que 30 transportavam açúcar e soja, 25 transportavam açúcar e fertilizantes e 15 transportavam soja e fertilizantes. Se 10 navios transportavam os três produtos, quantos navios analisados não transportavam nenhum desses três produtos?
  1. A40
  2. B35
  3. C30
  4. D25
  5. E20
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GabaritoA — 40

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 40 navios — alternativa A.

A ideia por trás

Quando temos três grupos que podem se sobrepor, somar os totais de cada grupo conta várias vezes quem pertence a mais de um. O diagrama de Venn é o desenho que mostra essas sobreposições: cada círculo é um grupo, e as regiões onde os círculos se cruzam são os elementos que pertencem a dois ou três grupos ao mesmo tempo. O que queremos saber é quantos elementos ficam fora de todos os círculos.

O princípio da inclusão-exclusão corrige a contagem dupla: somamos os três totais, subtraímos as interseções de dois em dois (porque cada uma foi contada duas vezes) e somamos a interseção tripla (porque ela foi subtraída três vezes, mas só deveria ser subtraída uma). A fórmula é n(A∪S∪F) = n(A) + n(S) + n(F) − n(A∩S) − n(A∩F) − n(S∩F) + n(A∩S∩F). Ela vale para qualquer conjunto de dados, desde que as interseções sejam informadas como no enunciado.

Esta questão pede exatamente a aplicação dessa fórmula para achar a união dos três conjuntos e depois subtrair do total. O passo crítico é lembrar de somar a interseção tripla no final.

O que a questão dá

  • total de navios analisados = 240

  • navios com açúcar = 110

  • navios com soja = 80

  • navios com fertilizantes = 70

  • navios com açúcar e soja = 30

  • navios com açúcar e fertilizantes = 25

  • navios com soja e fertilizantes = 15

  • navios com os três produtos = 10

O que queremos: quantos navios não transportavam nenhum dos três produtos

Passo 1 — Somar os totais de cada produto

Começamos somando os totais de cada conjunto porque é o primeiro passo da inclusão-exclusão: essa soma conta cada navio pelo menos uma vez, mas conta mais de uma vez os que transportam mais de um produto. Precisamos desse valor para depois corrigir as contagens duplicadas.

Por que esta fórmula: É a soma simples dos três totais dados no enunciado.

S=n(A)+n(S)+n(F)S = n(A) + n(S) + n(F)

De onde vem cada valor: n(A)n(A) = enunciado: 110 · n(S)n(S) = enunciado: 80 · n(F)n(F) = enunciado: 70

S=110+80+70=260S = 110 + 80 + 70 = \boxed{260}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos totais, ou somar errado.

Passo 2 — Subtrair as interseções de dois em dois

Cada navio que transporta dois produtos foi contado duas vezes na soma anterior, então precisamos subtrair uma vez cada interseção de dois conjuntos. Isso remove a contagem dupla.

Por que esta fórmula: É a segunda parte da inclusão-exclusão: subtrair as três interseções de pares.

S′=S−n(A∩S)−n(A∩F)−n(S∩F)S' = S - n(A\cap S) - n(A\cap F) - n(S\cap F)

De onde vem cada valor: SS = passo 1: 260 · n(A∩S)n(A\cap S) = enunciado: 30 · n(A∩F)n(A\cap F) = enunciado: 25 · n(S∩F)n(S\cap F) = enunciado: 15

S′=260−30−25−15=190S' = 260 - 30 - 25 - 15 = \boxed{190}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas duas interseções, esquecendo a terceira.

Passo 3 — Somar a interseção tripla de volta

Os navios que transportam os três produtos foram contados três vezes na soma inicial e subtraídos três vezes no passo anterior, então acabaram sendo excluídos completamente. Precisamos somá-los uma vez para que fiquem contados exatamente uma vez.

Por que esta fórmula: É a última parte da inclusão-exclusão: somar a interseção tripla.

U=S′+n(A∩S∩F)U = S' + n(A\cap S\cap F)

De onde vem cada valor: S′S' = passo 2: 190 · n(A∩S∩F)n(A\cap S\cap F) = enunciado: 10

U=190+10=200U = 190 + 10 = \boxed{200}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a interseção tripla, obtendo 190 e depois 50 navios sem nenhum produto.

Passo 4 — Subtrair a união do total de navios

A união U é o número de navios que transportam pelo menos um dos três produtos. Os que não transportam nenhum são o que sobra do total analisado, então subtraímos U de 240.

Por que esta fórmula: É a definição de complemento: fora dos círculos = total − união.

Nnenhum=Ntotal−UN_{nenhum} = N_{total} - U

De onde vem cada valor: NtotalN_{total} = enunciado: 240 · UU = passo 3: 200

Nnenhum=240−200=40N_{nenhum} = 240 - 200 = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Subtrair de um total errado, como 260, ou esquecer de subtrair.

Resposta: 40 navios — alternativa A

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