Questão de Física — Ótica — INSTITUTO AOCP 2025

Espelhos esféricos: equação de Gauss e aumento linear

Gabarito: letra C. A nova distância do objeto ao vértice do espelho é dada por $p' = \frac{3f - p}{2}$, obtida combinando a equação de Gauss ($\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}$) com a condição de que a imagem virtual tenha o dobro do tamanho da imagem real original ($A' = 2A$). A resolução exige aplicar corretamente a convenção de sinais para imagens virtuais em espelhos côncavos.

A questão envolve a formação de imagens em espelhos esféricos côncavos, um tema clássico de óptica geométrica. Para resolvê-la, precisamos dominar duas ferramentas: a equação de Gauss (ou equação dos pontos conjugados) e a equação do aumento linear transversal.

A equação de Gauss relaciona a distância focal $f$, a distância do objeto ao espelho $p$ e a distância da imagem ao espelho $p'$:

Já o aumento linear transversal $A$ é a razão entre o tamanho da imagem $i$ e o tamanho do objeto $o$, e também pode ser expresso em função das distâncias:

O sinal negativo na equação do aumento é crucial: ele indica que, quando $p'$ é positivo (imagem real), a imagem é invertida em relação ao objeto ($A < 0$). Quando $p'$ é negativo (imagem virtual), a imagem é direita ($A > 0$).

Vamos aplicar isso ao problema. Inicialmente, o objeto está a uma distância $p$ do espelho e a imagem formada é real, de tamanho $i$. Pela equação do aumento, temos:

Como a imagem é real, $p' > 0$ e $A < 0$. Podemos escrever o módulo do aumento como $|A| = \frac{p'}{p}$.

Agora, o objeto é aproximado do espelho, e a nova imagem deve ser virtual e ter tamanho $2i$. Para uma imagem virtual em um espelho côncavo, o objeto deve estar entre o foco e o vértice. Nessa nova situação, a distância do objeto é $p'$ (que vamos chamar de $p_2$ para evitar confusão) e a distância da imagem é $p_2'$, que agora é negativa (imagem virtual). O novo aumento é:

Como a imagem é virtual, $p_2' < 0$, então $A_2 > 0$. O módulo do novo aumento é $|A_2| = \frac{|p_2'|}{p_2}$.

O enunciado diz que a nova imagem tem o dobro do tamanho da imagem original: $2i = 2 \cdot i$. Isso significa que o módulo do novo aumento é o dobro do módulo do aumento original:

Substituindo as expressões:

Agora, precisamos relacionar $p'$ e $p_2'$ com $f$ e $p$ usando a equação de Gauss. Para a situação inicial (imagem real):

Como a imagem é real, $p' > 0$, o que implica $p > f$ (objeto além do foco).

Para a nova situação (imagem virtual), a distância da imagem $p_2'$ é negativa. Vamos usar a equação de Gauss com $p_2'$ representando o valor algébrico (negativo):

Como $p_2' < 0$, podemos escrever $p_2' = -|p_2'|$. Substituindo:

Para que a imagem seja virtual, $|p_2'| > 0$, o que exige $p_2 < f$ (objeto entre o foco e o vértice).

Agora, substituímos as expressões de $p'$ e $|p_2'|$ na relação dos aumentos:

Simplificando:

Cancelando $f$ (já que $f \neq 0$):

Invertendo ambos os lados:

Isolando $p_2$:

Portanto, a nova distância do objeto ao vértice do espelho é $p_2 = \frac{3f - p}{2}$, que corresponde à alternativa C.

Vamos verificar a consistência: como a nova imagem é virtual, precisamos que $p_2 < f$. Isso implica $\frac{3f - p}{2} < f \Rightarrow 3f - p < 2f \Rightarrow f < p$, o que é verdade, pois a imagem original era real ($p > f$). Além disso, $p_2 > 0$ exige $3f - p > 0 \Rightarrow p < 3f$, o que é uma condição razoável para o problema.

A pegadinha desta questão está na convenção de sinais. Muitos alunos, ao verem "imagem virtual", esquecem de atribuir sinal negativo à distância da imagem na equação de Gauss, o que leva a um resultado incorreto. Outro erro comum é confundir o aumento linear com o tamanho da imagem, esquecendo que o aumento é a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $(f - p)/2$ não corresponde a nenhuma relação física válida derivada das equações de Gauss e do aumento. Ela parece uma tentativa de manipular a equação $f - p_2 = (p - f)/2$ de forma incorreta, talvez esquecendo de somar $f$ ao resultado ou invertendo os termos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A expressão $(f + p)/3$ não é obtida em nenhuma etapa da resolução. Ela poderia surgir de um erro ao combinar as frações na equação do aumento, como se $\frac{1}{f - p_2} = \frac{2}{p - f}$ fosse resolvida de forma equivocada, resultando em um denominador 3.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a resolução correta leva a $p_2 = \frac{3f - p}{2}$. Aplicando a equação de Gauss para a situação inicial e final, e usando a relação entre os aumentos ($|A_2| = 2|A|$), chegamos exatamente a essa expressão. A alternativa está correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão $(f + p)/4$ não tem fundamento físico. Ela poderia resultar de um erro ao inverter a equação $f - p_2 = (p - f)/2$, talvez dividindo por 2 novamente ou somando $f$ e $p$ de forma incorreta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A expressão $(2f + p)/2$ também não é derivada corretamente. Ela poderia surgir se, ao isolar $p_2$, o aluno somasse $f$ em vez de subtrair, ou se confundisse os sinais na equação $f - p_2 = (p - f)/2$.

Gabarito: letra C