Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — INSTITUTO AOCP 2025
Raciocínio Lógico›Diagramas de Venn (Conjuntos)
Código
qg540890
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
MPE-RS
Ano
2025
Nível
Médio
Cargo
Técnico do Ministério Público
Em determinado dia de trabalho no MP, foram realizadas 400 pesquisas em bancos de dados eletrônicos. Essas pesquisas abrangeram assuntos administrativos – especificamente relacionados às áreas de pessoal, patrimonial ou financeira – ou trataram de outros temas. As seguintes informações são conhecidas:• 200 pesquisas trataram de questões de pessoal;• 180 pesquisas abordaram questões patrimoniais;• 150 pesquisas envolveram questões financeiras;• 70 pesquisas trataram de exatamente duas das três áreas administrativas;• 50 pesquisas foram referentes a outros assuntos (não administrativos);• A quantidade de pesquisas que se referem exclusivamente à área de pessoal é o dobro da quantidade de pesquisas que se refere exclusivamente à área financeira.Com base nessas informações, a quantidade de pesquisas que abordaram simultaneamente as três áreas administrativas (pessoal, patrimonial e financeira) é igual a
A25.
B30.
C45.
D55.
E60.
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GabaritoD — 55.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 55 pesquisas — alternativa D.
A ideia por trás
Quando três conjuntos se sobrepõem, somar os totais de cada um conta várias vezes quem pertence a mais de um conjunto. O diagrama de Venn mostra cada região separada: quem está só em um, quem está em dois, e quem está nos três. A interseção tripla é a região central, contada em todos os três totais.
O princípio da inclusão-exclusão corrige a dupla contagem: soma-se os três totais, subtrai-se as interseções de cada par, e soma-se de volta a interseção tripla (que foi subtraída três vezes). Aqui, o dado de 'exatamente duas' já exclui a tripla, então a correção fica: total das três áreas = soma dos totais − (exatamente duas) − 2×(interseção tripla).
Esta questão fornece o total de pesquisas administrativas e o número de pesquisas em exatamente duas áreas, permitindo montar uma equação direta para a interseção tripla. A condição sobre as exclusivas é um dado extra que não é necessário para achar a resposta.
O que a questão dá
total de pesquisas = 400
pesquisas de pessoal = 200
pesquisas patrimoniais = 180
pesquisas financeiras = 150
pesquisas de exatamente duas áreas = 70
pesquisas de outros assuntos = 50
exclusivas de pessoal = 2 × exclusivas de financeira
O que queremos: a quantidade de pesquisas que abordaram simultaneamente as três áreas administrativas
Passo 1 — Calcular o total de pesquisas administrativas
O total de 400 inclui 50 pesquisas de outros assuntos. Para trabalhar apenas com as áreas administrativas, precisamos subtrair essas 50, pois as somas de pessoal, patrimonial e financeira se referem só a elas.
Por que esta fórmula: É uma subtração direta: total administrativo = total geral − outros.
De onde vem cada valor: = enunciado: total de pesquisas · = enunciado: pesquisas de outros assuntos
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair os outros assuntos e usar 400 na equação, o que daria um valor diferente.
Passo 2 — Somar os totais das três áreas
Precisamos do total bruto das três áreas para comparar com o total administrativo. Essa soma conta cada pesquisa de exatamente duas áreas duas vezes e cada pesquisa das três áreas três vezes.
Por que esta fórmula: É a soma direta dos totais fornecidos.
De onde vem cada valor: = enunciado: pesquisas de pessoal · = enunciado: pesquisas patrimoniais · = enunciado: pesquisas financeiras
NÃO CAIA NESSA!
Nenhum específico, é uma soma simples.
Passo 3 — Montar a equação da inclusão-exclusão
A soma 530 é maior que o total administrativo 350 porque as pesquisas em duas ou três áreas foram contadas mais de uma vez. Precisamos subtrair as contagens extras para igualar ao total real.
Por que esta fórmula: Cada pesquisa de exatamente duas áreas foi contada duas vezes, então subtraímos 70 (uma vez cada). Cada pesquisa das três áreas foi contada três vezes, então subtraímos 2x (duas vezes cada). O resultado deve ser o total administrativo.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = enunciado: pesquisas de exatamente duas áreas · = definição: x é a interseção tripla, contada duas vezes a mais · = passo 1
NÃO CAIA NESSA!
Usar 70 como a soma das interseções dois a dois, que incluiria a tripla três vezes, em vez de 'exatamente duas'.
Passo 4 — Isolar a interseção tripla
A equação do passo anterior tem uma única incógnita, x. Resolver algebricamente é o caminho direto para achar o valor pedido.
Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: subtrair 530−70, depois isolar x.
De onde vem cada valor: = passo 3: 530 - 70 · = passo 1 · = passo 4: 460 - 350 · = passo 4: 110 / 2
NÃO CAIA NESSA!
Errar o sinal ao mover o 2x, resultando em x = 25.