Questão de Matemática — Geometria Plana — IV - UFG 2025

O processo de relacionar aritmética, álgebra e geometria, iniciado por al-Khwārizmī e Abū Kāmil, continuou no mundo islâmico com o trabalho de Abū Bakr al-Karajī (falecido em 1019), que usou tal processo para provar que o resultado da soma de cubos, até 10, é igual ao quadrado da soma de 1 a 10, como mostra a expressão:1³ + 2³ + 3³+ . . . + 10³ = (1 + 2 + 3 + . . . + 10)²Para fazer a prova, ele usou um quadrado ABCD, como na figura, com medida do lado igual à soma: (1 + 2 + 3 + . . . + 10). Dentro dele, configurou os quadrados menores: o primeiro (AB₁C₁D₁), com lado igual a 1, o segundo (AB₂C₂D₂), com lado igual a (1+2), e assim por diante, até o quadrado AB₉C₉D₉. Assim, para calcular a área de ABCD, ele completou o quadrado AB₉C₉D₉ com a área do gnômon*, o polígono B₉C₉D₉DCB, destacado na figura. Desse modo, em um processo muito parecido com a indução matemática, ele provou a expressão anterior.*gnômon: uma figura que, quando adicionada a um quadrado ou retângulo, forma um quadrado maior.KATZ, Victor J. A history of mathematics: An introduction. 3.ed. Person Education: Chicago, 1998. [Adaptado].Com base nessas informações, considere um processo similar ao realizado por Al-Karajī, porém, a partir de um quadrado com lado medindo: 1 + 2 + 3 + . . . +(n − 1) + n, com n ∈ N, n > 1. Nesse caso, a expressão que representa a área do gnômon é dada por

1. A
2. B
3. C
4. D
5. E