Análise Custo-Volume-Lucro e Maximização do Lucro no Monopólio
Gabarito: letra A (R$ 108). A função de custo médio variável CVM = 2X² – 10X + 36 e o preço de mercado P = 260 permitem encontrar a quantidade que maximiza o lucro (X = 8) igualando Receita Marginal ao Custo Marginal. Com X = 8 e lucro líquido de R$ 1.300, o custo fixo é de R$ 108.
Resolução passo a passo
Encontrar a quantidade de equilíbrio (maximização do lucro)
Em um monopólio, a empresa maximiza o lucro produzindo a quantidade em que a Receita Marginal (RMg) iguala o Custo Marginal (CMg). A receita total é RT = P × X = 260X, logo RMg = dRT/dX = 260.
O custo variável total (CVT) é o produto do custo médio variável pela quantidade:
CVT = CVM × X = (2X² – 10X + 36)X = 2X³ – 10X² + 36X.
Derivando, obtemos o custo marginal:
CMg = dCVT/dX = 6X² – 20X + 36.
Igualando RMg = CMg:
260 = 6X² – 20X + 36 → 6X² – 20X – 224 = 0 → 3X² – 10X – 112 = 0.
Resolvendo a equação quadrática (fórmula de Bhaskara):
X = [10 ± √(100 + 4·3·112)]/(2·3) = [10 ± √(100 + 1344)]/6 = [10 ± √1444]/6 = [10 ± 38]/6.
As raízes: (10+38)/6 = 8 e (10-38)/6 = -14/3 (descartada). Portanto, X = 8 unidades.
Calcular o custo fixo a partir do lucro líquido
Lucro (L) = Receita Total – Custo Total = RT – (CF + CVT).
Sabemos que L = 1.300, RT = 260·8 = 2.080, e CVT = 2·8³ – 10·8² + 36·8 = 2·512 – 10·64 + 288 = 1.024 – 640 + 288 = 672.
Logo: 1.300 = 2.080 – (CF + 672) → 1.300 = 2.080 – CF – 672 → 1.300 = 1.408 – CF → CF = 1.408 – 1.300 = 108.
Gabarito: letra A.