Desconto Comercial Simples e Taxa Efetiva Composta
Gabarito: letra D. A taxa efetiva mensal de juros compostos é dada por ( \sqrt[4]{1,25} - 1 ), obtida igualando o valor recebido (R$ 10.000,00) ao valor presente do título descontado a juros compostos: ( 10.000 = \frac{12.500}{(1+i)^4} ).
O banco aplica desconto comercial simples a 5% a.m. sobre o valor nominal de R$ 12.500,00 com vencimento em 120 dias (4 meses). O desconto é ( D = N \cdot i \cdot n = 12.500 \times 0,05 \times 4 = 2.500 ). Assim, José recebe ( A = 12.500 - 2.500 = 10.000 ).
Na prática, ele pega R$ 10.000 hoje e pagará R$ 12.500 daqui a 4 meses. Para encontrar a taxa efetiva mensal composta ( i ), fazemos:
[ 10.000 = \frac{12.500}{(1+i)^4} \Rightarrow (1+i)^4 = \frac{12.500}{10.000} = 1,25 \Rightarrow i = \sqrt[4]{1,25} - 1 ]
Alternativa A — ❌ Incorreta
0,025 (2,5%) seria a taxa efetiva se o desconto comercial simples fosse a metade, o que não corresponde ao problema.
Alternativa B — ❌ Incorreta
( \sqrt[4]{1,3} - 1 ) resultaria de uma relação de 1,3 entre valor nominal e valor atual, mas a relação correta é 1,25.
Alternativa C — ❌ Incorreta
0,05 (5%) é a taxa de desconto nominal, não a taxa efetiva composta.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Conforme demonstrado, ( i = \sqrt[4]{1,25} - 1 ) é a taxa efetiva mensal composta da operação.
Alternativa E — ❌ Incorreta
0,0625 (6,25%) aparece se alguém calcula ( 0,05 \times 1,25 ) ou similar, mas não tem fundamento.
Nota: A fórmula da taxa efetiva linear para desconto comercial simples (( i_{ef} = \frac{i}{1 - i \cdot n} )) não se aplica aqui, pois a questão pede taxa efetiva composta.
Gabarito: letra D.