Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 4 alunos (alternativa B).

A ideia por trás

A média aritmética de um conjunto de números é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de elementos. Quando conhecemos a média de um grupo, podemos recuperar a soma total multiplicando a média pela quantidade de elementos — é essa propriedade que permite montar equações a partir das médias dadas. Nesta questão, temos dois momentos: antes e depois da bonificação. Antes, a soma das notas de todos é a média geral vezes o total de alunos. Depois, cada aluno ganha 10 pontos, então a soma total aumenta em 10 vezes o número de alunos, mas a soma das notas originais (sem o bônus) permanece a mesma — o que muda é a distribuição entre aprovados e reprovados. O problema pede quantos alunos mudaram de grupo, então precisamos relacionar as somas antes e depois com as quantidades de alunos em cada grupo, montando um sistema de equações.

O que a questão dá

• total de alunos = 40

• média dos aprovados inicialmente = 75

• média dos reprovados inicialmente = 45

• média geral inicial = 60

• bônus = 10 pontos para todos

• média dos que permaneceram reprovados = 55

• média dos aprovados após bonificação = 80

O que queremos: o número de alunos inicialmente reprovados que passaram a ser aprovados após a bonificação

Passo 1 — Definir as variáveis do problema

Para transformar o texto em equações, precisamos dar nomes às quantidades desconhecidas: o número de aprovados inicialmente (A), o número de reprovados inicialmente (R) e o número de reprovados que passaram a aprovados (x). Essas variáveis serão usadas em todas as equações seguintes.

Passo 2 — Montar a equação do total de alunos

Sabemos que a turma tem 40 alunos, e todos são ou aprovados ou reprovados inicialmente. Então a soma dos aprovados e reprovados deve ser 40. Essa é a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: A relação entre as quantidades de dois grupos que juntos formam o total é sempre a soma deles igual ao total.

De onde vem cada valor: $A$ = definido no passo 1 · $R$ = definido no passo 1 · $40$ = enunciado: total de alunos = 40

Passo 3 — Montar a equação da soma inicial das notas

A média de um grupo é a soma das notas dividida pela quantidade de alunos. Como conhecemos as médias iniciais dos aprovados (75) e dos reprovados (45), podemos escrever a soma das notas de cada grupo: 75A para os aprovados e 45R para os reprovados. A soma total das notas da turma é a média geral (60) vezes o total de alunos (40), que dá 2400. Essa equação relaciona A e R com os dados iniciais.

Por que esta fórmula: A soma total é a soma das somas de cada grupo, e cada soma de grupo é média vezes quantidade.

De onde vem cada valor: $75$ = enunciado: média dos aprovados inicialmente = 75 · $A$ = passo 1 · $45$ = enunciado: média dos reprovados inicialmente = 45 · $R$ = passo 1 · $60$ = enunciado: média geral inicial = 60 · $40$ = enunciado: total de alunos = 40

Passo 4 — Simplificar a equação da soma inicial

A equação 75A + 45R = 2400 tem coeficientes grandes. Dividir todos os termos por 15 simplifica os números, facilitando a resolução do sistema. Isso não altera a igualdade, pois dividimos ambos os lados pelo mesmo valor.

Por que esta fórmula: Dividir uma equação por um fator comum mantém a igualdade e reduz os coeficientes.

De onde vem cada valor: $75A + 45R$ = passo 3 · $2400$ = passo 3 · $15$ = mdc de 75, 45 e 2400

Passo 5 — Isolar R na equação do total

Para resolver o sistema, podemos substituir uma variável. Da equação A + R = 40, isolamos R = 40 - A, para usar na equação simplificada.

Por que esta fórmula: Isolar uma variável é o primeiro passo do método da substituição.

De onde vem cada valor: $40$ = passo 2 · $A$ = passo 1

Passo 6 — Substituir R na equação simplificada

Com R = 40 - A, substituímos na equação 5A + 3R = 160 para obter uma equação apenas com A, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Substituição elimina uma variável, reduzindo o sistema a uma equação de uma incógnita.

De onde vem cada valor: $5A + 3R$ = passo 4 · $R$ = passo 5: 40 - A

Passo 7 — Resolver a equação para A

Agora temos uma equação linear simples. Vamos simplificar e isolar A para descobrir quantos alunos estavam aprovados inicialmente.

Por que esta fórmula: Resolver uma equação linear envolve simplificar os termos e isolar a variável.

De onde vem cada valor: $5A + 120 - 3A$ = passo 6 · $160$ = passo 6

Passo 8 — Calcular R usando o total

Com A = 20, usamos a equação do total para achar R = 40 - 20 = 20. Assim sabemos quantos eram reprovados inicialmente.

Por que esta fórmula: A equação do total relaciona A e R.

De onde vem cada valor: $40$ = passo 2 · $A$ = passo 7: 20

Passo 9 — Montar a equação da soma após bonificação

Após a bonificação, todos ganham 10 pontos. Os alunos que permaneceram reprovados são R - x, e a soma das notas deles é 55 vezes essa quantidade (pois a média deles é 55). Os aprovados agora são A + x, e a soma é 80 vezes essa quantidade. A soma total das notas após a bonificação é a soma original mais 10 pontos por aluno, ou seja, 2400 + 10×40 = 2800. Essa equação envolve x.

Por que esta fórmula: A soma total é a soma das somas dos grupos, e cada soma é média vezes quantidade. O bônus aumenta a soma total em 10 por aluno.

De onde vem cada valor: $55$ = enunciado: média dos que permaneceram reprovados = 55 · $R - x$ = passo 8 e passo 1: reprovados que não mudaram · $80$ = enunciado: média dos aprovados após bonificação = 80 · $A + x$ = passo 7 e passo 1: aprovados totais após bonificação · $2800$ = passo 3: 2400 + 10×40

Passo 10 — Resolver a equação para x

Agora temos uma equação com x. Vamos simplificar e isolar x para encontrar quantos alunos mudaram de grupo.

Por que esta fórmula: Resolver a equação linear resultante.

De onde vem cada valor: $55(20 - x)$ = passo 9 · $80(20 + x)$ = passo 9 · $2800$ = passo 9

Resposta: 4 alunos (alternativa B)