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Questão de Matemática — Álgebra Linear — FUNDATEC 2026

MatemáticaÁlgebra Linear
Código
qg685182
Banca
FUNDATEC
Órgão
IFC-SC
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Educação Matemática
Sejam A e b matrizes quadradas de ordem 3, com det(A)=2. A matriz b é definida porB = 3At ⋅ A −¹em que A T é a transposta da matriz A, e A −1 é a inversa de A. Com base nas propriedades dos determinantes, qual é o valor de det(B)?
  1. A6
  2. B9
  3. C18
  4. D27
  5. E54
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 27

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a det(B) = 27, alternativa D..

A ideia por trás

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que resume, por exemplo, o fator de escala de áreas ou volumes na transformação linear que ela representa. Para uma matriz 3×3, ele mede como volumes são dilatados ou contraídos. Três propriedades governam este problema: (1) transpor a matriz não muda o determinante, pois trocar linhas por colunas apenas reorganiza a informação; (2) a inversa tem determinante recíproco, já que A·A⁻¹ = I e det(I) = 1; (3) multiplicar uma matriz de ordem n por um escalar k multiplica o determinante por kⁿ, porque todas as n linhas são multiplicadas por k. Nesta questão, combinamos essas propriedades para calcular det(B) a partir de det(A).

O que a questão dá

  • A é matriz quadrada de ordem 3

  • det(A) = 2

  • B = 3Aᵀ · A⁻¹

O que queremos: o valor de det(B)

Passo 1 — Aplicar determinante do produto

O determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes. Isso permite separar o cálculo de det(B) em partes menores, cada uma tratável com as propriedades específicas.

Por que esta fórmula: A propriedade det(X·Y) = det(X)·det(Y) vale para quaisquer matrizes quadradas de mesma ordem, então podemos aplicá-la a 3Aᵀ e A⁻¹.

det⁡(B)=det⁡(3AT)⋅det⁡(A−1)\det(B) = \det(3A^{T}) \cdot \det(A^{-1})

De onde vem cada valor: BB = enunciado: B = 3Aᵀ · A⁻¹ · 3AT3A^{T} = enunciado: 3Aᵀ · A−1A^{-1} = enunciado: A⁻¹

det⁡(B)=det⁡(3AT)⋅det⁡(A−1)\det(B) = \det(3A^{T}) \cdot \det(A^{-1})
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o determinante do produto é o produto dos determinantes e tentar calcular det(3Aᵀ·A⁻¹) diretamente, sem separar.

Passo 2 — Calcular determinante de 3Aᵀ

Precisamos do valor de det(3Aᵀ). Como A é de ordem 3, multiplicar a matriz inteira por 3 multiplica o determinante por 3³. Além disso, a transposta não altera o determinante.

Por que esta fórmula: Para uma matriz de ordem n, det(k·M) = kⁿ·det(M). Aqui n=3 e k=3. E det(Aᵀ) = det(A), então substituímos.

det⁡(3AT)=33⋅det⁡(AT)=27⋅det⁡(A)\det(3A^{T}) = 3^{3} \cdot \det(A^{T}) = 27 \cdot \det(A)

De onde vem cada valor: 33 = ordem da matriz A (3×3) · det⁡(AT)\det(A^{T}) = passo 1: det(3Aᵀ) = det(3Aᵀ)·det(A⁻¹), e aqui calculamos det(3Aᵀ) · det⁡(A)\det(A) = enunciado: det(A) = 2

det⁡(3AT)=33⋅2=27⋅2=54=54\det(3A^{T}) = 3^{3} \cdot 2 = 27 \cdot 2 = 54 = \boxed{54}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 3 em vez de 27, esquecendo que o escalar afeta todas as 3 linhas, então o fator é 3³.

Passo 3 — Calcular determinante da inversa

Precisamos de det(A⁻¹). Como A é invertível (det(A) ≠ 0), o determinante da inversa é o recíproco do determinante original.

Por que esta fórmula: Da identidade A·A⁻¹ = I, tomando determinantes: det(A)·det(A⁻¹) = det(I) = 1, logo det(A⁻¹) = 1/det(A).

det⁡(A−1)=1det⁡(A)\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}

De onde vem cada valor: det⁡(A)\det(A) = enunciado: det(A) = 2

det⁡(A−1)=12=1 /2\det(A^{-1}) = \frac{1}{2} = \boxed{1\ /2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a inversa tem determinante recíproco e usar det(A⁻¹) = det(A) = 2.

Passo 4 — Multiplicar os determinantes

Agora temos os dois fatores: det(3Aᵀ) = 54 e det(A⁻¹) = 1/2. O determinante de B é o produto deles, conforme a propriedade do produto.

Por que esta fórmula: Retomamos a expressão do passo 1: det(B) = det(3Aᵀ)·det(A⁻¹). Substituímos os valores calculados.

det⁡(B)=54⋅12\det(B) = 54 \cdot \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 5454 = passo 2: det(3Aᵀ) = 54 · 12\frac{1}{2} = passo 3: det(A⁻¹) = 1/2

det⁡(B)=54⋅12=27=27\det(B) = 54 \cdot \frac{1}{2} = 27 = \boxed{27}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelo det(A⁻¹) e obter 54, ou errar a conta 54·1/2.

Resposta: det(B) = 27, alternativa D.

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