Questão de Matemática — Polinômios — FUNDATEC 2026

Equações Polinomiais: Propriedades e Teoremas

Gabarito: letra C. Estão corretas as assertivas I, II e IV. A assertiva III está incorreta porque, a partir apenas da soma (6) e do produto (6) fornecidos, não é possível garantir que as três raízes sejam reais – o Teorema Fundamental da Álgebra assegura apenas que existem três raízes complexas (contando multiplicidades).

A questão explora o uso das Relações de Girard e de teoremas clássicos sobre polinômios. O aluno informou que, para o polinômio cúbico (coeficientes reais), a soma das raízes é 6 e o produto é 6. Com base nisso, analisam-se as afirmativas.

Assertiva I — ✅ Correta

Para polinômios com coeficientes reais, se um número complexo $z = a + bi$ (com $b \neq 0$) é raiz, então seu conjugado $\bar{z} = a - bi$ também é raiz. Isso decorre do fato de que a conjugação complexa é um homomorfismo que preserva as operações de adição e multiplicação, mantendo a igualdade a zero. Portanto, a afirmação está correta.

Assertiva II — ✅ Correta

Pela Relação de Girard, a soma das raízes é $S = -a$ (coeficiente do termo de grau 2) para $x^3 + a x^2 + b x + c$. O aluno afirmou que $S = 6$. Se as raízes estão em progressão aritmética, podemos representá-las como $(m-d, m, m+d)$. A soma é $3m = 6$, logo $m = 2$. Assim, a raiz central é obrigatoriamente 2, independentemente do valor da diferença. A assertiva está correta.

Assertiva III — ❌ Incorreta

O Teorema Fundamental da Álgebra garante que um polinômio de grau $n$ possui exatamente $n$ raízes no conjunto dos números complexos (contando multiplicidades). A partir apenas da soma e do produto (ambos 6), não é possível afirmar que todas as três raízes são reais. Por exemplo, o polinômio $x^3 - 6x^2 + 10x - 6$ tem soma 6 e produto 6, mas possui uma raiz real e duas complexas conjugadas. Logo, a assertiva é falsa.

Assertiva IV — ✅ Correta

O Teorema das Raízes Racionais afirma que, para um polinômio com coeficientes inteiros, se $p/q$ (fração irredutível) é raiz, então $p$ divide o termo independente ($c$) e $q$ divide o coeficiente líder ($a_n$). No caso, o termo independente é $-6$, portanto qualquer raiz racional deve ser um divisor de $-6$ (como $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$). A afirmação está correta.

Análise das Alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que apenas I e II estão corretas, ignorando que a assertiva IV também é verdadeira.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que apenas III e IV estão corretas, mas III é falsa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Compreende exatamente as assertivas corretas: I, II e IV.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Inclui a assertiva III (falsa) e exclui a assertiva I (verdadeira).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Inclui a assertiva III, que é falsa.

Gabarito: letra C.