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Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2026

MatemáticaProgressões
Código
qg685187
Banca
FUNDATEC
Órgão
IFC-SC
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Professor EBTT - Educação Matemática
Considere uma progressão aritmética de três termos (x,y,z), com x < y < z, cuja soma é 24. Sabe-se que os termos (x − 1), y e (z + 5) formam uma progressão geométrica. Nessas condições, qual é o valor do produto x ⋅ y ⋅ z?
  1. A320.
  2. B384.
  3. C400.
  4. D440.
  5. E480.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 440.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a x ⋅ y ⋅ z = 5 × 8 × 11 = 440, alternativa D..

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante; já uma progressão geométrica (PG) tem razão constante entre termos consecutivos. Quando temos três termos em PA, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois; quando temos três termos em PG, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos. Essas propriedades permitem montar equações que relacionam os termos, transformando o problema em um sistema. Nesta questão, usamos a soma da PA para achar y, depois a propriedade da PG para achar uma relação entre x e z, e resolvemos o sistema para encontrar os valores que satisfazem todas as condições.

O que a questão dá

  • soma dos termos da PA = 24

  • condição de ordem: x < y < z

  • (x − 1), y, (z + 5) formam uma PG

O que queremos: o produto x ⋅ y ⋅ z

Passo 1 — Aplicar a propriedade da PA

Em uma PA de três termos, o termo do meio é a média aritmética dos extremos. Isso é uma propriedade fundamental: se os termos são x, y, z, então y = (x+z)/2. Precisamos disso para relacionar os termos e usar a soma.

Por que esta fórmula: A propriedade do termo médio da PA é a forma mais direta de ligar y com x e z, e junto com a soma dada permite achar y.

y=x+z2y = \frac{x + z}{2}

De onde vem cada valor: yy = termo do meio da PA · xx = primeiro termo da PA · zz = terceiro termo da PA

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a propriedade vale para três termos em PA, tentando usar outra relação.

Passo 2 — Usar a soma para achar y

Temos a soma x + y + z = 24. Substituindo y pela expressão da PA, conseguimos uma equação só com x e z, que resolve para a soma x+z.

Por que esta fórmula: A soma dos três termos é dada, e substituindo y pela média, a equação fica simples de resolver.

x+x+z2+z=24x + \frac{x+z}{2} + z = 24

De onde vem cada valor: xx = primeiro termo · x+z2\frac{x+z}{2} = passo 1: y = (x+z)/2 · zz = terceiro termo · 2424 = enunciado: soma = 24

x+x+z2+z=24x + \frac{x+z}{2} + z = 24
x+z=16x + z = \boxed{16}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a álgebra ao somar as frações, por exemplo, esquecer de multiplicar por 2.

Passo 3 — Calcular y a partir da soma

Com x + z = 16, podemos achar y usando a propriedade da PA: y = (x+z)/2. Isso é necessário porque y aparece na condição da PG.

Por que esta fórmula: A propriedade do termo médio da PA relaciona y com a soma dos extremos.

y=x+z2y = \frac{x+z}{2}

De onde vem cada valor: yy = termo médio · x+zx+z = passo 2: x+z = 16

y=162y = \frac{16}{2}
y=8y = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, achando y = 16.

Passo 4 — Aplicar a propriedade da PG

Os termos (x−1), y, (z+5) formam uma PG. Em uma PG de três termos, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos. Isso nos dá uma equação envolvendo x e z.

Por que esta fórmula: A propriedade do termo médio da PG é a relação que define a progressão geométrica.

y2=(x−1)(z+5)y^{2} = (x-1)(z+5)

De onde vem cada valor: yy = passo 3: y = 8 · x−1x-1 = enunciado: primeiro termo da PG · z+5z+5 = enunciado: terceiro termo da PG

82=(x−1)(z+5)8^{2} = (x-1)(z+5)
64=(x−1)(z+5)64 = \boxed{(\text{x}-1)(\text{z}+5)}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a propriedade, usando (x-1)² = y(z+5) ou algo assim.

Passo 5 — Montar o sistema de equações

Temos duas equações: x + z = 16 e (x−1)(z+5) = 64. Precisamos resolver esse sistema para achar x e z.

Por que esta fórmula: O sistema vem diretamente das condições do problema: a soma da PA e a propriedade da PG.

{x+z=16(x−1)(z+5)=64\begin{cases} x + z = 16 \\ (x-1)(z+5) = 64 \end{cases}

De onde vem cada valor: x+z=16x + z = 16 = passo 2 · (x−1)(z+5)=64(x-1)(z+5) = 64 = passo 4

NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que são duas equações e tentar resolver de outra forma.

Passo 6 — Substituir z na equação da PG

Da primeira equação, z = 16 − x. Substituímos na segunda para obter uma equação só com x.

Por que esta fórmula: Isolamos z e substituímos para reduzir o sistema a uma equação do segundo grau.

(x−1)(16−x+5)=64(x-1)(16-x+5) = 64

De onde vem cada valor: x−1x-1 = passo 4 · 16−x+516-x+5 = passo 5: z = 16 - x, então z+5 = 21 - x · 6464 = passo 4

(x−1)(21−x)=64(x-1)(21-x) = 64
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 16+5 = 21, ou esquecer de distribuir corretamente.

Passo 7 — Resolver a equação do segundo grau

Expandindo (x−1)(21−x) = 64, obtemos uma equação quadrática. Precisamos resolvê-la para achar os possíveis valores de x.

Por que esta fórmula: A equação é do tipo ax² + bx + c = 0, resolvida pela fórmula de Bhaskara.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = coeficiente de x², após expandir: -1 · bb = coeficiente de x, após expandir: 22 · cc = termo constante, após expandir: -85

x=−22±222−4⋅(−1)⋅(−85)2⋅(−1)x = \frac{-22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot (-85)}}{2 \cdot (-1)}

x = 5 ou x = 17

NÃO CAIA NESSA!

Errar os sinais ao expandir, ou errar o discriminante.

Passo 8 — Escolher a solução que respeita a ordem

Temos duas soluções para x: 5 e 17. Precisamos verificar qual satisfaz x < y < z, com y = 8. Se x = 17, então z = 16 − 17 = −1, o que viola a ordem. Portanto, x = 5.

Por que esta fórmula: A condição de ordem é dada no enunciado e elimina a solução inválida.

De onde vem cada valor: x=5x = 5 = passo 7 · y=8y = 8 = passo 3 · z=16−xz = 16 - x = passo 5

x = 5, z = 11

NÃO CAIA NESSA!

Escolher x = 17 sem verificar a ordem, resultando em z negativo.

Resposta: x ⋅ y ⋅ z = 5 × 8 × 11 = 440, alternativa D.

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