GabaritoB — A função f possui um ponto de mínimo.
Gabarito: letra B. A função f(x) = x² ln(x), para x > 0, possui um único ponto de mínimo local (em x = e^(-1/2)), pois a derivada primeira se anula nesse ponto e a derivada segunda é positiva. As demais alternativas apresentam afirmações falsas sobre o comportamento da função.
Vamos analisar a função passo a passo. A função é definida para x > 0 (devido ao logaritmo natural). Para estudar extremos e crescimento, calculamos a derivada primeira usando a regra do produto:
f'(x) = (x²)' · ln(x) + x² · (ln(x))' = 2x · ln(x) + x² · (1/x) = 2x ln(x) + x = x(2 ln(x) + 1).
Igualando a zero: x(2 ln(x) + 1) = 0. Como x > 0, temos 2 ln(x) + 1 = 0 → ln(x) = -1/2 → x = e^(-1/2). Esse é o único ponto crítico.
Para classificar, calculamos a derivada segunda:
f''(x) = (2x ln(x) + x)' = 2 ln(x) + 2 + 1 = 2 ln(x) + 3.
No ponto crítico x = e^(-1/2): f''(e^(-1/2)) = 2·(-1/2) + 3 = -1 + 3 = 2 > 0. Como a derivada segunda é positiva, o ponto é de mínimo local. Como é o único ponto crítico e a função tende a +∞ quando x → +∞, esse mínimo é global.
Agora, vamos analisar cada alternativa.
Intervalo / Ponto | Sinal de f'(x) = x(2 ln x + 1) | Sinal de f''(x) = 2 ln x + 3 | Comportamento de f |
|---|---|---|---|
0 < x < e^(-1/2) | f'(x) < 0 (decrescente) | f''(x) < 0 (concavidade para baixo) | Decrescente, côncava para baixo |
x = e^(-1/2) | f'(x) = 0 (ponto crítico) | f''(x) = 2 > 0 (mínimo local) | Mínimo local (e global) |
e^(-1/2) < x < e^(-3/2) | f'(x) > 0 (crescente) | f''(x) < 0 (concavidade para baixo) | Crescente, côncava para baixo |
x = e^(-3/2) | f'(x) > 0 (crescente) | f''(x) = 0 (ponto de inflexão) | Ponto de inflexão |
x > e^(-3/2) | f'(x) > 0 (crescente) | f''(x) > 0 (concavidade para cima) | Crescente, côncava para cima |
Afirma que a função possui dois pontos de extremo local. Como vimos, a equação f'(x) = 0 tem apenas uma solução (x = e^(-1/2)), portanto há apenas um ponto crítico e, consequentemente, um único extremo local. A alternativa está errada.
A função possui um ponto de mínimo. De fato, o ponto x = e^(-1/2) é um mínimo local (f'' > 0) e, como é o único ponto crítico e a função cresce para +∞, é também o mínimo global. A alternativa está correta.
Afirma que a função é estritamente crescente no intervalo (0, 1). Vamos analisar o sinal da derivada primeira: f'(x) = x(2 ln(x) + 1). Para x > 0, o sinal depende de (2 ln(x) + 1). Temos:
Para 0 < x < e^(-1/2): 2 ln(x) + 1 < 0 → f'(x) < 0 → função decrescente.
Para x > e^(-1/2): 2 ln(x) + 1 > 0 → f'(x) > 0 → função crescente.
Como e^(-1/2) ≈ 0,6065, que está dentro do intervalo (0, 1), a função é decrescente em (0, e^(-1/2)) e crescente em (e^(-1/2), 1). Portanto, não é estritamente crescente em todo o intervalo (0, 1). A alternativa está errada.
Afirma que lim_{x→0⁺} f(x) = +∞. Vamos calcular: f(x) = x² ln(x). Quando x → 0⁺, x² → 0 e ln(x) → -∞. O produto é uma indeterminação do tipo 0 · (-∞). Reescrevendo: x² ln(x) = ln(x) / (1/x²). Aplicando L'Hôpital: lim_{x→0⁺} (1/x) / (-2/x³) = lim_{x→0⁺} (-x²/2) = 0. Portanto, o limite é 0, não +∞. A alternativa está errada.
Afirma que a função não possui ponto de inflexão. Ponto de inflexão ocorre onde a derivada segunda muda de sinal. Temos f''(x) = 2 ln(x) + 3. Igualando a zero: 2 ln(x) + 3 = 0 → ln(x) = -3/2 → x = e^(-3/2). Para x < e^(-3/2), f''(x) < 0 (concavidade para baixo); para x > e^(-3/2), f''(x) > 0 (concavidade para cima). Como há mudança de sinal, existe um ponto de inflexão em x = e^(-3/2). A alternativa está errada.
A banca explora a confusão entre o ponto de mínimo (x = e^(-1/2)) e o ponto de inflexão (x = e^(-3/2)). São valores próximos, mas distintos. Além disso, muitos candidatos erram o limite em D, achando que x² ln(x) tende a +∞ quando x → 0⁺, quando na verdade o limite é 0 (o termo x² domina o logaritmo). Fique atento a essas armadilhas!
Para analisar crescimento e extremos, sempre calcule a derivada primeira e estude o sinal. Para concavidade e pontos de inflexão, use a derivada segunda. Lembre-se de que o domínio da função com logaritmo é x > 0, e que limites envolvendo logaritmo e potências frequentemente exigem L'Hôpital.
Gabarito: letra B.
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