Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2026

Quadriláteros notáveis: diagonais e suas propriedades

Gabarito: letra D — estão corretas apenas as assertivas III e IV. A questão testa a relação entre as propriedades das diagonais e a classificação dos quadriláteros: diagonais congruentes caracterizam o retângulo, perpendiculares caracterizam o losango, e a combinação de ambas caracteriza o quadrado — mas somente quando o quadrilátero já é um paralelogramo, condição que as assertivas I e II omitem.

O ponto central é entender que as propriedades das diagonais não definem um quadrilátero qualquer: elas são critérios de classificação dentro da família dos paralelogramos. Um quadrilátero genérico pode ter diagonais congruentes sem ser retângulo (como um trapézio isósceles), e diagonais perpendiculares sem ser losango (como um deltoide). As assertivas I e II erram exatamente ao generalizar essas propriedades para qualquer quadrilátero, ignorando a condição de paralelismo.

Vamos analisar cada assertiva com cuidado, lembrando as definições e propriedades dos quadriláteros notáveis:

• Paralelogramo: quadrilátero com lados opostos paralelos.

• Retângulo: paralelogramo com quatro ângulos retos (equiângulo).

• Losango: paralelogramo com quatro lados congruentes (equilátero).

• Quadrado: paralelogramo que é, ao mesmo tempo, retângulo e losango (equilátero e equiângulo).

As propriedades das diagonais que valem para esses casos são:

• Em todo retângulo, as diagonais são congruentes.

• Em todo losango, as diagonais são perpendiculares.

• No quadrado, as diagonais são congruentes e perpendiculares.

E as recíprocas, que são o coração da questão:

• Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.

• Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.

• Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes e perpendiculares é um quadrado.

A pegadinha está em que essas recíprocas exigem que o quadrilátero seja um paralelogramo. Sem essa condição, as propriedades das diagonais não são suficientes para classificar a figura.

Item I — ❌ Incorreto

A assertiva afirma que diagonais congruentes implicam necessariamente um retângulo. Isso é falso para um quadrilátero qualquer. O contraexemplo clássico é o trapézio isósceles: ele possui diagonais congruentes, mas não é um retângulo (não tem quatro ângulos retos). A propriedade correta é: todo paralelogramo com diagonais congruentes é um retângulo. A assertiva omite a condição de o quadrilátero ser um paralelogramo, generalizando indevidamente.

Item II — ❌ Incorreto

A assertiva afirma que diagonais perpendiculares implicam um losango. Também é falsa para um quadrilátero qualquer. O contraexemplo é o deltoide (ou pipa): um quadrilátero com dois pares de lados adjacentes congruentes, cujas diagonais são perpendiculares, mas que não é um losango (não tem os quatro lados congruentes). A propriedade correta é: todo paralelogramo com diagonais perpendiculares é um losango. Novamente, falta a condição de paralelogramo.

Item III — ✅ Correto

A assertiva afirma que se as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o quadrilátero é um losango. Esta é uma propriedade válida para qualquer quadrilátero convexo, sem necessidade de ser paralelogramo. Se as diagonais de um quadrilátero convexo bissetam os ângulos internos, então ele é um losango. Isso decorre do fato de que, se cada diagonal divide os ângulos ao meio, os triângulos formados pelas diagonais são congruentes, o que implica que todos os lados são congruentes. Portanto, a assertiva está correta.

Item IV — ✅ Correto

A assertiva afirma que diagonais perpendiculares e congruentes implicam um quadrado. Esta é uma propriedade válida para qualquer quadrilátero convexo, sem necessidade de ser paralelogramo. Se as diagonais são perpendiculares e congruentes, e se cortam ao meio (o que é consequência da congruência e perpendicularidade em um quadrilátero convexo), então o quadrilátero é um quadrado. A demonstração envolve mostrar que os quatro triângulos formados pelas diagonais são congruentes, o que implica que todos os lados são congruentes e todos os ângulos são retos. Portanto, a assertiva está correta.

Conclusão: Corretos: III e IV → portanto a alternativa é a letra D.

Gabarito: letra D