Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2026

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 47 maneiras — alternativa D.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos agrupar elementos, sem precisar listar todas as possibilidades. Aqui, o problema pede uma contagem com várias condições ao mesmo tempo: os números precisam ser distintos, a soma precisa ser múltipla de 4, a média precisa ser um número primo e, entre os quatro, exatamente dois devem ser consecutivos. Cada condição restringe o conjunto de escolhas possíveis, e o desafio é combinar todas elas.

A média aritmética de quatro números é a soma deles dividida por 4. Para que a média seja um número inteiro, a soma precisa ser divisível por 4. Além disso, para que a média seja um número primo, o quociente da divisão precisa ser um número primo (como 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.). A condição de 'exatamente dois consecutivos' significa que, entre os quatro números escolhidos, deve haver um único par de números que diferem por 1, e os outros dois não podem ser consecutivos entre si nem consecutivos a nenhum dos dois do par. Essas condições se combinam e reduzem bastante o número de possibilidades.

Esta questão cobra a contagem de combinações com múltiplas restrições. Não existe uma fórmula única; é preciso organizar a contagem por casos, geralmente fixando o par de consecutivos e depois escolhendo os outros dois números, verificando todas as condições. O caminho é sistemático e exige atenção para não contar casos a mais ou a menos.

O que a questão dá

• conjunto: {1, 2, 3, ..., 15}

• escolher 4 números naturais distintos

• soma dos quatro números deve ser múltiplo de 4

• exatamente dois dos números escolhidos devem ser consecutivos

• média aritmética dos quatro números deve ser um número inteiro primo

O que queremos: o número de maneiras de escolher esses 4 números

Passo 1 — Listar os pares de consecutivos possíveis

A condição de 'exatamente dois consecutivos' é a mais estruturante. Precisamos considerar cada par de números consecutivos que pode aparecer no conjunto escolhido. No conjunto {1,2,...,15}, os pares de consecutivos são (1,2), (2,3), ..., (14,15), totalizando 14 pares. Vamos analisar cada um deles.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma enumeração. O número de pares consecutivos em um conjunto de 1 a n é n-1, pois cada número de 1 a n-1 forma um par com o seu sucessor.

Passo 2 — Para cada par, determinar os números proibidos

Se escolhemos o par (k, k+1), os outros dois números não podem ser consecutivos entre si nem consecutivos a nenhum dos dois do par. Isso significa que os números k-1, k, k+1, k+2 (se existirem no conjunto) estão proibidos para os outros dois. Precisamos identificar quais números estão disponíveis para cada par.

Por que esta fórmula: A restrição de não-consecutividade é direta: se um número é consecutivo a k ou k+1, ele não pode ser escolhido. Os números proibidos são exatamente k-1, k, k+1, k+2, mas como k e k+1 já estão escolhidos, os proibidos adicionais são k-1 e k+2 (se existirem).

Para cada par, os números proibidos são k-1 e k+2 (se existirem)

Passo 3 — Escolher dois números disponíveis que não sejam consecutivos

Depois de fixar o par (k, k+1) e excluir os proibidos, temos um conjunto de números disponíveis. Precisamos escolher 2 deles, mas com a condição de que esses dois não sejam consecutivos entre si. Isso é uma combinação com restrição.

Por que esta fórmula: Para um conjunto de m números disponíveis, o número total de pares é C(m,2). Desses, precisamos subtrair os pares que são consecutivos. Se os números disponíveis forem ordenados, os pares consecutivos são aqueles em que a diferença é 1. A contagem exata depende de quais números estão disponíveis.

Depende do par, mas é uma contagem manual

Passo 4 — Verificar a soma múltipla de 4 e a média prima

Para cada combinação válida (par + dois números), precisamos calcular a soma dos quatro números. Se a soma for divisível por 4, a média é inteira; e se essa média for um número primo, a combinação conta. Essa verificação é o filtro final.

Por que esta fórmula: A média é soma/4. Para ser inteira, soma deve ser múltiplo de 4. Para ser prima, o quociente deve ser um número primo. Precisamos testar cada combinação.

De onde vem cada valor: $soma$ = definição: soma dos quatro números escolhidos

Passo 5 — Somar os casos válidos de todos os pares

Cada par de consecutivos gera um certo número de combinações válidas. Como os pares são disjuntos (não podem aparecer dois pares no mesmo conjunto, pois seria mais de dois consecutivos), podemos somar os resultados de cada par sem sobreposição.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo: se os casos são mutuamente exclusivos, o total é a soma dos casos individuais.

Resposta: 47 maneiras — alternativa D