Matemática · FUNDATEC · 2026 | Questão sqc-qg686113

Progressão Aritmética aplicada a frotas de veículos

Gabarito: letra E. O período n em que os totais acumulados das duas empresas se igualam é 9 meses, e 9 é múltiplo de 3 e de 9, mas a alternativa que o classifica corretamente é a letra E (múltiplo de 5? Não — 9 não é múltiplo de 5). Vamos recalcular com cuidado: a empresa A começa com 8 veículos e adquire 4 por mês; a empresa B começa com 17 e adquire 2 por mês. O total acumulado após n meses é dado pela soma dos termos de uma progressão aritmética: para A, S_A = n/2 · [2·8 + (n-1)·4]; para B, S_B = n/2 · [2·17 + (n-1)·2]. Igualando e resolvendo, obtemos n = 9. Como 9 é múltiplo de 3, a alternativa correta seria a letra A, não a E. Há um conflito com o gabarito oficial; a resolução matemática aponta para a letra A.

A questão envolve o conceito de progressão aritmética (PA): uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma razão constante. Aqui, o número de veículos de cada empresa forma uma PA: a empresa A tem primeiro termo 8 e razão 4; a empresa B tem primeiro termo 17 e razão 2. O total acumulado após n meses é a soma dos n primeiros termos da PA, dada pela fórmula:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

onde $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ é o n-ésimo termo.

Vamos montar as expressões:

Empresa A: $a_1 = 8$ , $r = 4$ → $a_n = 8 + 4(n-1) = 4n + 4$ → $S_A = \frac{(8 + 4n + 4) \cdot n}{2} = \frac{(4n + 12) \cdot n}{2} = 2n^2 + 6n$
Empresa B: $a_1 = 17$ , $r = 2$ → $a_n = 17 + 2(n-1) = 2n + 15$ → $S_B = \frac{(17 + 2n + 15) \cdot n}{2} = \frac{(2n + 32) \cdot n}{2} = n^2 + 16n$

Igualando os totais:

2n^2 + 6n = n^2 + 16n

n^2 - 10n = 0

n(n - 10) = 0

Como n > 0, temos n = 10. Verifique: em 10 meses, A acumula 2·100 + 6·10 = 260; B acumula 100 + 160 = 260. Portanto, n = 10, que é múltiplo de 5. A alternativa correta é a letra E.

A pegadinha está em interpretar "total acumulado" como o número de veículos no mês n (termo da PA) em vez da soma acumulada. Se você usar apenas o termo geral, obteria 8 + 4n = 17 + 2n → n = 4,5, que não é inteiro — sinal de que o caminho é outro. A banca explora exatamente essa confusão entre "termo" e "soma".

Caso	Atribuição (n)	Resultado
Termo geral (pegadinha)	8 + 4n = 17 + 2n → n = 4,5	Inviável (não inteiro)
Soma da PA (correto)	2n² + 6n = n² + 16n → n = 10	Consistente (múltiplo de 5)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que n é múltiplo de 3. Com n = 10, isso é falso. O candidato que erra ao usar o termo geral (n = 4,5) ou que comete erro de conta pode chegar a n = 9, que é múltiplo de 3, mas o cálculo correto da soma dá n = 10.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que n é número primo. 10 não é primo (divisível por 2 e 5). Números primos têm exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que n é múltiplo de 4. 10 não é múltiplo de 4 (4·2 = 8, 4·3 = 12).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que n é quadrado perfeito. 10 não é quadrado perfeito (os quadrados perfeitos são 1, 4, 9, 16, ...).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Com n = 10, temos que 10 é múltiplo de 5 (5·2 = 10). A soma acumulada das duas empresas se iguala exatamente no 10º mês, como demonstrado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca "total acumulado" (soma dos termos) por "número de veículos no mês n" (termo da PA). Se você usar o termo geral, chega a n = 4,5, que não é inteiro — e aí pode cair em alguma alternativa errada. Lembre-se: quando o problema fala em "total acumulado", use a soma da PA, não o termo geral.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de PA com "total acumulado", monte as duas somas com a fórmula $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ e iguale. Se o resultado não for inteiro, revise a interpretação — provavelmente você usou o termo geral em vez da soma.

Gabarito: letra E