Matemática · FUNDATEC · 2026 | Questão sqc-qg686116

Função exponencial, inversa e composição

Gabarito: letra A — corretas apenas as assertivas I e II. A função dada é $f(x) = 2 + 3^{x-1}$ , uma exponencial crescente com imagem $(2, +\infty)$ ; sua inversa é $g(x) = 1 + \log_3(x-2)$ , e o cálculo $g(11/3) = 1 + \log_3(5/3)$ não coincide com $\log_3 5$ , o que exige atenção na leitura da assertiva II.

A questão mistura três conceitos de funções: imagem, função inversa e composição. Vamos por partes.

1. Imagem da função exponencial. Para $f(x) = 2 + 3^{x-1}$ , o termo $3^{x-1}$ é sempre positivo (nunca zero), então $f(x) > 2$ para todo $x$ real. Conforme $x \to -\infty$ , $3^{x-1} \to 0^+$ e $f(x) \to 2^+$ (sem nunca atingir 2); conforme $x \to +\infty$ , $f(x) \to +\infty$ . Logo, a imagem é $\text{Im}(f) = (2, +\infty)$ . Como $g: A \to \mathbb{R}$ é a inversa de $f$ , o domínio de $g$ é a imagem de $f$ , ou seja, $A = (2, +\infty)$ . A assertiva I está correta.

2. Função inversa. Para achar $g$ , trocamos $x$ e $y$ em $y = 2 + 3^{x-1}$ e isolamos $y$ :

x = 2 + 3^{y-1} \Rightarrow 3^{y-1} = x - 2 \Rightarrow y - 1 = \log_3(x-2) \Rightarrow g(x) = 1 + \log_3(x-2).

Agora, $g(11/3) = 1 + \log_3(11/3 - 2) = 1 + \log_3(5/3)$ . Isso não é igual a $\log_3 5$ . A assertiva II está incorreta.

3. Composição. Se $f(h(x)) = 2 + 3^{h(x)-1} = 2 + 3x$ , então $3^{h(x)-1} = 3x$ , logo $h(x) - 1 = \log_3(3x)$ , e $h(x) = 1 + \log_3(3x)$ . Para $x = 1/9$ : $h(1/9) = 1 + \log_3(3 \cdot 1/9) = 1 + \log_3(1/3) = 1 - 1 = 0$ . A assertiva III está incorreta.

4. Intercepto no eixo x. O gráfico de $g$ intercepta o eixo x quando $g(x) = 0$ : $1 + \log_3(x-2) = 0 \Rightarrow \log_3(x-2) = -1 \Rightarrow x - 2 = 3^{-1} = 1/3 \Rightarrow x = 7/3$ . O ponto é $(7/3, 0)$ , não $(1, 0)$ . A assertiva IV está incorreta.

Distribuição de assertivas corretas — só Assertivas corretas: I; só Assertivas incorretas: II, III, IV; Assertivas corretas∩Assertivas incorretas:

Assertiva I — ✅ Correta

A imagem de $f(x) = 2 + 3^{x-1}$ é $(2, +\infty)$ , pois $3^{x-1} > 0$ para todo $x$ real. Como $g$ é a inversa de $f$ , o domínio de $g$ (conjunto $A$ ) é exatamente a imagem de $f$ . Portanto, a afirmação está correta.

Assertiva II — ❌ Incorreta

A inversa é $g(x) = 1 + \log_3(x-2)$ . Calculando: $g(11/3) = 1 + \log_3(5/3)$ , que não é igual a $\log_3 5$ . A banca tenta confundir ao omitir o " $1 +$ " e o argumento do logaritmo.

Assertiva III — ❌ Incorreta

De $f(h(x)) = 2 + 3^{h(x)-1} = 2 + 3x$ , obtemos $h(x) = 1 + \log_3(3x)$ . Para $x = 1/9$ : $h(1/9) = 1 + \log_3(1/3) = 0$ , não 1.

Assertiva IV — ❌ Incorreta

O intercepto no eixo x ocorre quando $g(x) = 0$ : $1 + \log_3(x-2) = 0 \Rightarrow x = 7/3$ . O ponto é $(7/3, 0)$ , não $(1, 0)$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a função inversa e a função original. Na assertiva II, o candidato apressado pode calcular $f(11/3)$ em vez de $g(11/3)$ , ou simplificar $\log_3(5/3)$ como $\log_3 5 - \log_3 3 = \log_3 5 - 1$ , esquecendo do " $1 +$ " que está fora do logaritmo. Na assertiva IV, o ponto $(1,0)$ parece plausível, mas não satisfaz a equação de $g$ . Fique atento: sempre verifique se a expressão dada é a inversa correta antes de substituir valores.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões com função inversa, siga o roteiro: (1) troque $x$ e $y$ ; (2) isole $y$ usando as propriedades do logaritmo; (3) confira o domínio da inversa (que é a imagem da original). Para composição, substitua a função interna na externa e iguale os expoentes. Treine com funções exponenciais e logarítmicas, pois a banca adora cobrar essas manipulações.

Gabarito: letra A — apenas as assertivas I e II estão corretas.