Questão de Matemática — Álgebra — FUNDATEC 2026

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a x = 9 (alternativa B).

A ideia por trás

Uma equação exponencial é aquela em que a incógnita aparece no expoente. Para resolvê-la, o objetivo é deixar os dois lados com a mesma base, pois se a^m = a^n e a > 0, a ≠ 1, então m = n. Quando temos uma soma de potências de mesma base, não podemos somar os expoentes (isso só vale para multiplicação); o caminho é fatorar a potência de menor expoente, transformando a soma em um produto. Nesta questão, os expoentes são x-3, x-2 e x-1; fatorando 2^(x-3), a soma vira um produto simples, e então igualamos as bases para achar x.

O que a questão dá

• equação: 2^(x-3) + 2^(x-2) + 2^(x-1) = 448

• x ∈ R

O que queremos: o valor de x que satisfaz a equação exponencial

Passo 1 — Fatorar a menor potência

Para resolver a equação, precisamos transformar a soma de potências em um produto. Como os expoentes são consecutivos, a potência de menor expoente é 2^(x-3); colocá-la em evidência é o primeiro passo para simplificar.

Por que esta fórmula: A fatoração é possível porque cada termo pode ser escrito como 2^(x-3) multiplicado por uma potência de 2: 2^(x-2) = 2^(x-3) · 2^1 e 2^(x-1) = 2^(x-3) · 2^2. Isso usa a propriedade a^m · a^n = a^(m+n).

De onde vem cada valor: $2^{x-3}$ = enunciado: primeiro termo da soma · $2^{x-2}$ = enunciado: segundo termo, reescrito como 2^{x-3} · 2 · $2^{x-1}$ = enunciado: terceiro termo, reescrito como 2^{x-3} · 4

Passo 2 — Igualar a expressão a 448

Após fatorar, a equação original fica mais simples: 2^(x-3) · 7 = 448. Agora precisamos isolar a potência para comparar com uma potência de 2.

Por que esta fórmula: A equação é uma igualdade; para isolar 2^(x-3), dividimos ambos os lados por 7, pois a operação inversa da multiplicação é a divisão.

De onde vem cada valor: $448$ = enunciado: valor do lado direito da equação · $7$ = passo 1: fator comum (1+2+4)

Passo 3 — Reescrever 64 como potência de 2

Para usar a propriedade de igualdade de bases, precisamos que o lado direito também seja uma potência de 2. Como 64 é uma potência de 2, escrevemos 64 = 2^6.

Por que esta fórmula: 64 = 2^6 porque 2^6 = 2·2·2·2·2·2 = 64. Isso permite igualar os expoentes.

De onde vem cada valor: $64$ = passo 2: resultado da divisão · $2^{6}$ = fato conhecido: 2^6 = 64

Passo 4 — Igualar os expoentes

Com as bases iguais (2), a função exponencial é injetora: se 2^a = 2^b, então a = b. Isso nos dá uma equação simples para x.

Por que esta fórmula: A propriedade é: se a^m = a^n e a > 0, a ≠ 1, então m = n. Aqui a = 2, m = x-3, n = 6.

De onde vem cada valor: $x - 3$ = passo 3: expoente do lado esquerdo · $6$ = passo 3: expoente do lado direito

Resposta: x = 9 (alternativa B)