Questão de Matemática — Trigonometria — FUNDATEC 2026

Trigonometria aplicada: altura de um edifício

Gabarito: letra A. A altura do edifício é dada pela soma da altura medida a partir do teodolito com a altura do próprio teodolito. Usando a tangente de 30° no triângulo retângulo formado, temos: $\tan 30° = \frac{h}{60} \Rightarrow h = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}$. Somando a altura do teodolito (1,70 m), obtemos $20\sqrt{3} + 1{,}70$.

A questão envolve a aplicação das relações trigonométricas no triângulo retângulo, especificamente a tangente de um ângulo agudo. A tangente é definida como a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo. No problema, o ângulo de elevação de 30° é formado entre a linha horizontal (distância de 60 m até a base) e a linha de visada até o topo do edifício. O cateto oposto a esse ângulo é a altura do edifício acima do ponto de observação do teodolito, e o cateto adjacente é a distância horizontal de 60 m.

A pegadinha clássica é esquecer de somar a altura do instrumento (1,70 m) ao resultado da tangente. Muitos candidatos calculam apenas $20\sqrt{3}$ e marcam uma alternativa sem o termo +1,70, mas todas as opções incluem esse termo, então a distinção está no coeficiente de $\sqrt{3}$. Outro erro comum é confundir a tangente com o seno ou cosseno, o que levaria a valores diferentes (por exemplo, $60 \cdot \sin 30° = 30$, que aparece na alternativa B).

A razão pela qual usamos a tangente é que temos o cateto adjacente (60 m) e queremos o cateto oposto (altura). O seno e o cosseno envolvem a hipotenusa, que não é fornecida diretamente. Portanto, a tangente é a relação mais direta.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a tangente de 30°: $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Assim, $\frac{h}{60} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow h = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3}$. Somando a altura do teodolito (1,70 m), a altura total é $20\sqrt{3} + 1{,}70$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $30\sqrt{3}$ resultaria de usar $\tan 30° = \frac{1}{2}$ (que é o seno de 30°) ou de um erro de cálculo. Se o aluno usasse $\sin 30° = \frac{1}{2}$, teria $h = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$, e depois multiplicaria por $\sqrt{3}$ indevidamente. O correto é $20\sqrt{3}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$60\sqrt{3}$ seria o resultado se a tangente de 30° fosse $\sqrt{3}$ (que é a tangente de 60°). O aluno que confunde os ângulos notáveis ou usa a tangente de 60° no lugar da de 30° chega a esse valor. Lembre-se: $\tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}$ e $\tan 60° = \sqrt{3}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$120\sqrt{3}$ não corresponde a nenhuma operação direta com os dados. Provavelmente resulta de um erro de manipulação algébrica, como multiplicar 60 por 2 e depois por $\sqrt{3}$, ou de usar a cotangente (que é $\sqrt{3}$) e multiplicar por 60, obtendo $60\sqrt{3}$, e depois dobrar sem justificativa. Não há base matemática para esse valor.

Gabarito: letra A