Considere os seguintes conjuntos, definidos no conjunto dos números reais (R), em que cada conjunto é formado apenas pelos valores de x que satisfazem a respectiva condição:A = {x ∈ R | x² – 4 = 0}B = {x ∈ R | x + 1 ≥ 0}C = {x ∈ R | x² – 3x + 2 = 0}O conjunto resultante de A∩B∩C é:
A{-2, 2}
B{-1, 1, 2}
C{2}
D{1, 2}
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GabaritoC — {2}
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Interseção de conjuntos e equações
Gabarito: letra C — o conjunto resultante de A∩B∩C é {2}. Para chegar a isso, resolvemos cada condição separadamente: A = {-2, 2}, B = {x ∈ R | x ≥ -1} e C = {1, 2}; a interseção dos três conjuntos é o único elemento que pertence a todos, que é o 2.
Vamos entender cada conjunto. O conjunto A é definido pela equação x² – 4 = 0. Resolvendo: x² = 4, logo x = ±2. Portanto, A = {-2, 2}. O conjunto B é definido pela inequação x + 1 ≥ 0, ou seja, x ≥ -1. Isso significa que B contém todos os números reais maiores ou iguais a -1, um intervalo infinito. O conjunto C é definido pela equação x² – 3x + 2 = 0. Fatorando: (x – 1)(x – 2) = 0, logo x = 1 ou x = 2. Portanto, C = {1, 2}.
A interseção A∩B∩C é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A, B e C. Vamos analisar cada elemento de A: -2 não pertence a C (pois C só tem 1 e 2) e também não pertence a B (pois -2 < -1). O elemento 2 pertence a A, pertence a B (pois 2 ≥ -1) e pertence a C. Portanto, o único elemento comum é o 2. A alternativa correta é a letra C.
Interseção de conjuntos — só Conjunto A: 0; só Conjunto B: infinito; só Conjunto C: 0; Conjunto A∩Conjunto B: 0; Conjunto A∩Conjunto C: 0; Conjunto B∩Conjunto C: 1; Conjunto A∩Conjunto B∩Conjunto C: 1
Alternativa A — ❌ Incorreta
O conjunto {-2, 2} é exatamente o conjunto A, mas não considera as restrições de B e C. O elemento -2 não pertence a B (pois -2 < -1) e também não pertence a C (pois C só tem 1 e 2). Portanto, não pode ser a interseção dos três conjuntos.
Alternativa B — ❌ Incorreta
O conjunto {-1, 1, 2} inclui -1, que não pertence a A (pois A = {-2, 2}), e inclui 1, que não pertence a A. Portanto, não é a interseção correta.
Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO
O conjunto {2} é exatamente o único elemento que pertence a A, B e C simultaneamente. O elemento 2 satisfaz todas as condições: x² – 4 = 0, x + 1 ≥ 0 e x² – 3x + 2 = 0. Portanto, A∩B∩C = {2}.
Alternativa D — ❌ Incorreta
O conjunto {1, 2} é exatamente o conjunto C, mas não considera as restrições de A e B. O elemento 1 não pertence a A (pois A = {-2, 2}). Portanto, não é a interseção correta.