GabaritoE — 4.
Gabarito: letra E — a conta chega a O resto é 4, portanto a alternativa correta é a letra E..
Na divisão por um número, o resto é o que sobra quando o dividendo não é múltiplo do divisor. Por exemplo, 7 dividido por 5 dá quociente 1 e resto 2, pois 7 = 5·1 + 2. Quando trabalhamos com restos, existe uma propriedade importante: se dois números deixam o mesmo resto na divisão por um certo divisor, então suas potências também deixam restos relacionados — o resto de uma potência é a potência do resto. Isso porque, ao elevar ao quadrado a expressão n = 5q + 2, os termos que contêm o múltiplo de 5 continuam múltiplos de 5, e só o quadrado do resto (2² = 4) sobra. Nesta questão, basta aplicar essa propriedade: como n deixa resto 2, n² deixa resto 2² = 4.
n é um inteiro positivo
n dividido por 5 deixa resto 2
O que queremos: o resto da divisão de n² por 5
Para trabalhar com restos, é útil representar o número n de forma explícita: todo número que deixa resto 2 na divisão por 5 pode ser escrito como 5 vezes um quociente inteiro q, mais 2. Isso transforma o problema em uma expressão algébrica que podemos manipular.
Por que esta fórmula: Essa é a definição de divisão com resto: dividendo = divisor × quociente + resto. Como o divisor é 5 e o resto é 2, temos n = 5q + 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: divisor é 5 · = quociente inteiro (não especificado, mas existe) · = enunciado: resto é 2
Esquecer que q é inteiro e tentar usar n = 5 + 2, o que só valeria para um caso específico.
Queremos o resto de n², então precisamos elevar ao quadrado a expressão que representa n. Isso nos permite ver como o resto se comporta quando elevamos o número ao quadrado.
Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado é a operação que a questão pede. Usamos o produto notável (a + b)² = a² + 2ab + b² para expandir.
De onde vem cada valor: = do quadrado de 5q: (5q)^2 = 25q^2 · = do dobro do produto: 2 · 5q · 2 = 20q · = do quadrado de 2: 2^2 = 4
Errar o produto notável, por exemplo escrever (5q + 2)^2 = 25q^2 + 4, esquecendo o termo 20q.
Na divisão por 5, os termos que são múltiplos de 5 não contribuem para o resto. Precisamos separar o que é múltiplo de 5 do que não é, para achar o resto de n².
Por que esta fórmula: Um número é múltiplo de 5 se pode ser escrito como 5 vezes um inteiro. Aqui, 25q² = 5·(5q²) e 20q = 5·(4q), então ambos são múltiplos de 5. O termo 4 não é múltiplo de 5.
De onde vem cada valor: = fatorando 5 de 25q^2 + 20q · = termo constante que sobra
Achar que 25q² e 20q não são múltiplos de 5, ou que o 4 também é múltiplo.
Agora que n² está escrito como um múltiplo de 5 mais 4, o resto da divisão por 5 é exatamente o termo que sobra, pois o múltiplo de 5 é divisível por 5 e não deixa resto.
Por que esta fórmula: Pela definição de divisão, se um número é da forma 5k + r, com 0 ≤ r < 5, então r é o resto. Aqui k = 5q² + 4q e r = 4.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 3
Confundir o resto com o quociente, ou achar que o resto é 2 (o resto de n) em vez de elevar o resto ao quadrado.
Resposta: O resto é 4, portanto a alternativa correta é a letra E.
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