Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2026
Matemática›Progressões
Código
qg694612
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Araquari - SC
Ano
2026
Nível
Médio
Um servidor público do setor de planejamento de uma prefeitura modelou o crescimento da arrecadação municipal de um determinado imposto. Ele observou que, nos primeiros 5 anos, a arrecadação anual seguiu uma Progressão Geométrica (PG). No primeiro ano, a arrecadação foi de R$ 50.000,00; no terceiro ano, de R$ 200.000,00. Com base nessas informações, qual foi a arrecadação no quarto ano?
AR$ 300.000,00.
BR$ 400.000,00.
CR$ 600.000,00.
DR$ 800.000,00.
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GabaritoB — R$ 400.000,00.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 400.000,00 (alternativa B).
A ideia por trás
Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão (q). Ela modela crescimentos percentuais constantes, como o aumento anual de uma arrecadação. A razão é o quociente entre dois termos consecutivos: q = a_{n+1}/a_n. O termo geral é a_n = a_1 · q^{n-1}, que relaciona qualquer termo com o primeiro e a razão. Nesta questão, conhecemos dois termos (1º e 3º) e precisamos achar o 4º; a chave é usar o termo geral para descobrir a razão e depois avançar um passo.
O que a questão dá
a_1 = R$ 50.000,00
a_3 = R$ 200.000,00
O que queremos: a arrecadação no quarto ano (a_4)
Passo 1 — Escrever a fórmula do termo geral
Precisamos de uma relação que ligue os termos conhecidos (1º e 3º) para descobrir a razão. O termo geral da PG faz exatamente isso: a_n = a_1 · q^{n-1}.
Por que esta fórmula: É a fórmula que define qualquer termo de uma PG a partir do primeiro e da razão. Como temos o 1º e o 3º termo, ela permite montar uma equação para achar q.
De onde vem cada valor: = termo que queremos (no caso, a_3) · = enunciado: R$ 50.000,00 · = razão da PG (desconhecida) · = posição do termo (3)
a_3 = 50000 · q^3-1
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o expoente é n-1, e não n. Para o 3º termo, o expoente é 2, não 3.
Passo 2 — Substituir os valores conhecidos
Com a fórmula do termo geral, substituímos os valores de a_1 e a_3 para obter uma equação que só depende de q.
Por que esta fórmula: É a mesma fórmula do passo 1, agora com os números do enunciado no lugar das letras.
De onde vem cada valor: = enunciado: a_3 = R$ 200.000,00 · = enunciado: a_1 = R$ 50.000,00 · = passo 1: q^{3-1} = q^2
NÃO CAIA NESSA!
Trocar os valores: colocar 50.000 no lugar de 200.000, ou vice-versa.
Passo 3 — Isolar q ao quadrado
Para descobrir a razão, precisamos deixar q^2 sozinho de um lado da equação. Isso é feito dividindo os dois lados por 50.000.
Por que esta fórmula: A equação é uma multiplicação: 50.000 vezes q^2. Para desfazer a multiplicação, dividimos pelo mesmo número dos dois lados.
De onde vem cada valor: = passo 2: lado esquerdo da equação · = passo 2: fator que multiplica q^2
NÃO CAIA NESSA!
Dividir 50.000 por 200.000, obtendo 0,25, em vez do contrário.
Passo 4 — Extrair a raiz quadrada
Temos q^2 = 4; para achar q, tiramos a raiz quadrada dos dois lados. Como os valores são positivos, q é positivo.
Por que esta fórmula: A raiz quadrada é a operação inversa da potência ao quadrado.
De onde vem cada valor: = passo 3: q^2 = 4
NÃO CAIA NESSA!
Achar que q = 4, confundindo q^2 com q. Lembre: 4 é o quadrado da razão, não a razão.
Passo 5 — Calcular o quarto termo
Com a razão q = 2, o 4º termo é o 3º multiplicado por 2, pois em uma PG cada termo é o anterior vezes a razão.
Por que esta fórmula: A definição de PG: a_{n+1} = a_n · q. Aqui, n = 3.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 200.000,00 · = passo 4: q = 2
= R$ 400.000,00
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar duas vezes por 2 (200.000 → 400.000 → 800.000), achando que é o 4º termo, quando 800.000 seria o 5º.