GabaritoD — –34.
Gabarito: letra D — para que P(x) seja divisível por Q(x) = x – 2, o resto da divisão deve ser zero. Pelo Teorema do Resto, o resto é P(2). Calculando: P(2) = 3·2³ + 2·2² + 2 + k = 24 + 8 + 2 + k = 34 + k. Para o resto ser zero, 34 + k = 0, logo k = –34.
A questão cobra um dos teoremas mais clássicos de polinômios: o Teorema do Resto (ou Teorema de D'Alembert). Ele afirma que, ao dividir um polinômio P(x) por um binômio da forma (x – a), o resto dessa divisão é exatamente o valor numérico de P no ponto a, ou seja, P(a). Quando o resto é zero, dizemos que P(x) é divisível por (x – a), e isso significa que (x – a) é um fator de P(x).
Aqui, o divisor é Q(x) = x – 2, então a = 2. Basta substituir x por 2 em P(x) e igualar o resultado a zero. O candidato que não domina o teorema pode tentar fazer a divisão longa de polinômios, o que é mais trabalhoso e sujeito a erros de sinal — justamente a pegadinha da banca: os distratores 34 e 17 são os valores que aparecem quando se esquece de igualar o resto a zero ou se erra o sinal na hora de isolar k.
34 seria o valor de P(2) se k fosse zero (24 + 8 + 2 = 34). O candidato que calcula P(2) e esquece de impor a condição de divisibilidade (resto = 0) cai nessa alternativa. Mas o problema pede que P(x) seja divisível por Q(x), ou seja, o resto deve ser zero — não basta calcular P(2), é preciso igualá-lo a zero.
17 é a metade de 34. Pode surgir de um erro de cálculo: por exemplo, se o candidato calcula P(2) = 24 + 8 + 2 + k = 34 + k e, ao invés de igualar a zero, faz 34 + k = 17 (talvez pensando em dividir por 2). Não há nenhuma operação que justifique esse valor — é um distrator puro, sem correspondência com o raciocínio correto.
–17 é o oposto de 17. Pode aparecer se o candidato erra o sinal ao isolar k: se ele calcula 34 + k = 0 e, por engano, escreve k = 17 (em vez de k = –34). Ou ainda se ele usa a = –2 (troca o sinal do divisor), obtendo P(–2) = 3·(–8) + 2·4 + (–2) + k = –24 + 8 – 2 + k = –18 + k, e iguala a zero, achando k = 18 — mas isso não bate com nenhuma alternativa. O valor –17 não corresponde a nenhum passo correto da resolução.
Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de P(x) por (x – 2) é P(2). Para que a divisão seja exata, o resto deve ser zero:
P(2) = 3·2³ + 2·2² + 2 + k = 3·8 + 2·4 + 2 + k = 24 + 8 + 2 + k = 34 + k
Igualando a zero: 34 + k = 0 → k = –34.
Portanto, com k = –34, P(x) é divisível por Q(x), e o resto da divisão é zero.
–46 não corresponde a nenhum passo da resolução. Se o candidato erra o cálculo de P(2), por exemplo, fazendo 3·2³ = 3·6 = 18 (em vez de 3·8 = 24), teria P(2) = 18 + 8 + 2 + k = 28 + k, e igualando a zero, k = –28 — que também não é –46. É um distrator aleatório, sem relação com o raciocínio correto.
A banca explora a confusão entre calcular P(2) e impor a condição de divisibilidade. O candidato que calcula P(2) = 34 e para por aí marca a alternativa A (34), esquecendo que o resto deve ser zero. Outra armadilha é errar o sinal ao isolar k: 34 + k = 0 → k = –34, não +34. Com treino, você enxerga essas trocas de longe 💪
Para questões de divisibilidade por (x – a), o atalho é sempre o Teorema do Resto: calcule P(a) e iguale a zero. Se o divisor for (ax + b), a raiz é x = –b/a — use esse valor. Memorize o passo a passo: identificar a raiz do divisor → substituir no polinômio → igualar a zero → resolver para k.
Gabarito: letra D
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