GabaritoB — 32.
Gabarito: letra B — a conta chega a 32 (alternativa B).
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante chamada razão (r) ao termo anterior. Ela mede um crescimento (ou decrescimento) linear: se a razão é positiva, os termos aumentam sempre na mesma quantidade; se negativa, diminuem. A unidade aqui é o próprio número do termo, e a razão indica o passo entre eles.
A relação que governa a PA é o termo geral: aₙ = a₁ + (n−1)·r. Ela tem essa forma porque, para chegar ao n-ésimo termo, partimos do primeiro e adicionamos a razão uma vez para cada passo entre os termos — e há (n−1) passos do 1º ao n-ésimo termo. Se a razão cresce, os termos crescem mais rápido; se n cresce, o termo fica maior (para r positivo). Essa fórmula vale para qualquer PA, desde que n seja um inteiro positivo.
Nesta questão, temos a₁ = 5, r = 3 e queremos o 10º termo. Basta aplicar a fórmula do termo geral, substituindo n por 10, e calcular o resultado — é exatamente isso que os passos a seguir fazem.
primeiro termo a₁ = 5
razão r = 3
posição do termo n = 10
O que queremos: o valor do 10º termo da progressão aritmética
Para achar um termo específico da PA sem precisar somar a razão várias vezes, usamos a fórmula do termo geral. Ela condensa o processo de somar r repetidamente: do primeiro termo até o n-ésimo, damos (n−1) passos, cada um somando r.
Por que esta fórmula: É a fórmula que define qualquer termo de uma progressão aritmética. Outras fórmulas, como a da soma dos termos, não servem aqui porque queremos um termo isolado, não a soma.
De onde vem cada valor: = é o termo que queremos (o 10º) · = enunciado: primeiro termo = 5 · = enunciado: posição do termo = 10 · = enunciado: razão = 3
Esquecer os parênteses e escrever aₙ = a₁ + n·r, o que leva a multiplicar a razão por n em vez de (n−1).
Com a fórmula montada, agora colocamos os números do enunciado no lugar das letras. Isso transforma a expressão genérica em uma conta simples de fazer.
Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral é a única que relaciona diretamente o termo procurado com o primeiro termo, a razão e a posição. Substituir é o passo natural após escolhê-la.
De onde vem cada valor: = é o termo que queremos (10º) · = enunciado: a₁ = 5 · = enunciado: n = 10, menos 1 · = enunciado: r = 3
Trocar (10−1) por 10, resultando em 5 + 10·3 = 35.
Precisamos resolver a expressão seguindo a ordem das operações: primeiro os parênteses, depois a multiplicação e por fim a soma. Isso evita erros de cálculo.
Por que esta fórmula: Não há fórmula nova aqui; é apenas a simplificação do termo (10−1), que é parte da expressão já montada.
De onde vem cada valor: = enunciado: n = 10 · = constante da fórmula (n−1)
Fazer 10−1 errado ou pular direto para a multiplicação sem resolver o parêntese.
Agora que sabemos quantos passos são necessários (9), multiplicamos pela razão para saber o quanto o termo cresce em relação ao primeiro. Isso é o coração da PA: cada passo soma r.
Por que esta fórmula: A multiplicação (n−1)·r vem diretamente da fórmula do termo geral: é a quantidade total somada ao primeiro termo.
De onde vem cada valor: = passo 3: resultado de (10−1) · = enunciado: razão r = 3
Multiplicar 10 por 3 em vez de 9, obtendo 30 — o erro clássico de usar n em vez de (n−1).
O acréscimo de 27 é o quanto o 10º termo está acima do primeiro. Somando ao primeiro termo (5), obtemos o valor final do termo procurado.
Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral é a₁ + (n−1)·r; depois de calcular (n−1)·r, falta apenas somar a₁.
De onde vem cada valor: = enunciado: a₁ = 5 · = passo 4: resultado de 9·3
Esquecer de somar o primeiro termo e responder apenas 27, ou somar errado (5+27=32, mas alguns podem errar para 31 ou 33).
Resposta: 32 (alternativa B)
Link permanente: /questoes/qg694706