Questão de Matemática — Trigonometria — FUNDATEC 2026

Funções trigonométricas: período, imagem e valor mínimo

Gabarito: letra E — as três assertivas estão corretas. O período de $g(x)=\operatorname{sen}(2x)$ é $\pi$ (fórmula $P=\frac{2\pi}{|c|}$ com $c=2$); a imagem de $h(x)=5-\cos(x)$ é $[4,6]$ (deslocamento vertical de $5$ sobre a imagem $[-1,1]$ do cosseno); e o valor mínimo de $f(x)=2+\cos(x)$ é $1$ (mínimo do cosseno é $-1$, logo $2+(-1)=1$).

A questão cobra três propriedades clássicas das funções trigonométricas: período, conjunto imagem e valor extremo. Vamos revisar cada conceito para fixar de vez.

Período: para funções do tipo $y = a + b\cdot\operatorname{sen}(cx+d)$ ou $y = a + b\cdot\cos(cx+d)$, o período é dado por $P = \frac{2\pi}{|c|}$. No caso de $g(x)=\operatorname{sen}(2x)$, temos $c=2$, logo $P = \frac{2\pi}{2} = \pi$. A função seno "comprime" seu ciclo pela metade quando o argumento é multiplicado por 2.

Conjunto imagem: a imagem de $\operatorname{sen}(x)$ e $\cos(x)$ é sempre $[-1,1]$. Quando há um coeficiente multiplicativo $b$ e uma constante aditiva $a$, a imagem vira $[a-|b|,\ a+|b|]$. Para $h(x)=5-\cos(x)$, temos $a=5$ e $b=-1$ (o sinal de $b$ não altera a imagem, apenas reflete o gráfico), então a imagem é $[5-1,\ 5+1] = [4,6]$.

Valor mínimo: o valor mínimo de $\cos(x)$ é $-1$. Assim, para $f(x)=2+\cos(x)$, o mínimo ocorre quando $\cos(x)=-1$, resultando em $2+(-1)=1$. O valor máximo seria $2+1=3$.

A pegadinha comum é confundir o período da função seno/cosseno (que é $2\pi$) com o período da tangente (que é $\pi$), ou esquecer de dividir pelo coeficiente de $x$ no argumento. Outra armadilha é inverter o sinal da constante aditiva ao calcular a imagem — aqui, $5-\cos(x)$ tem imagem $[4,6]$, e não $[-6,4]$ ou algo similar.

Item I — ✅ Correto

O período de $g(x)=\operatorname{sen}(2x)$ é $\pi$. Pela fórmula $P = \frac{2\pi}{|c|}$, com $c=2$, obtemos $P = \frac{2\pi}{2} = \pi$. A assertiva está correta.

Item II — ✅ Correto

O conjunto imagem de $h(x)=5-\cos(x)$ é $[4,6]$. Como $\cos(x)$ varia em $[-1,1]$, temos $5-\cos(x)$ variando de $5-1=4$ a $5-(-1)=6$. A assertiva está correta.

Item III — ✅ Correto

O valor mínimo de $f(x)=2+\cos(x)$ é $1$. O mínimo de $\cos(x)$ é $-1$, então $2+(-1)=1$. A assertiva está correta.

Conclusão: corretos os itens I, II e III → portanto a alternativa é a letra E.

Gabarito: letra E