Questão de Raciocínio Lógico — Equivalência Lógica e Negação de Proposições — NUCEPE 2018

Negação de proposições quantificadas

Gabarito: letra E. A negação da frase original deve ser feita passo a passo: nega-se a conjunção entre as duas sentenças, nega-se o quantificador universal ("para todo") trocando por existencial ("existe") e inverte-se o predicado, e nega-se a disjunção ("ou") trocando por conjunção ("e") negando cada parte. A única alternativa que aplica corretamente essas regras é a E.

A frase original pode ser decomposta assim:

• Primeira parte: "Para todo planeta F, F é maior que G" → $\forall F (F > G)$.

• Segunda parte: "Todos os planetas H não são habitáveis ou existe pelo menos um planeta H maior que os planetas F" → $(\forall H \, \neg H_{hab}) \lor (\exists H \, \forall F (H > F))$.

A frase completa é a conjunção dessas duas: $P = [\forall F (F > G)] \land [ (\forall H \, \neg H_{hab}) \lor (\exists H \, \forall F (H > F)) ]$.

Negando $P$: $\neg P = \neg[\forall F (F > G)] \lor \neg[ (\forall H \, \neg H_{hab}) \lor (\exists H \, \forall F (H > F)) ]$.

Usando as regras de negação:

• $\neg[\forall F (F > G)] = \exists F \, \neg(F > G) = \exists F \, (F \not> G)$ ("existe um planeta F tal que F não é maior que G").

• $\neg[ (\forall H \, \neg H_{hab}) \lor (\exists H \, \forall F (H > F)) ] = \neg(\forall H \, \neg H_{hab}) \land \neg(\exists H \, \forall F (H > F)) = (\exists H \, H_{hab}) \land (\forall H \, \neg[\forall F (H > F)]) = (\exists H \, H_{hab}) \land (\forall H \, \exists F \, \neg(H > F)) = (\exists H \, H_{hab}) \land (\forall H \, \exists F \, (H \leq F))$.

Em linguagem natural: "Existe pelo menos um planeta H que é habitável e nenhum planeta H é maior que todos os planetas F". Pois a afirmação "para todo H existe um F tal que H não é maior que F" equivale a "não existe H que seja maior que todos os F".

Portanto a negação completa é:

Existe pelo menos um planeta F, tal que F não é maior que G. Existe um planeta H que é habitável e nenhum planeta H é maior que os planetas F.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A primeira parte erra: mantém o quantificador universal ("Para qualquer planeta F") ao invés de existencial, e troca o predicado por "F é menor que G" (a negação de "maior" é "não maior", não "menor"). A segunda parte também erra: deve ser uma conjunção ("e") mas traz "ou", e o primeiro componente deveria ser existencial ("existe") mas é universal ("Qualquer").

Alternativa B — ❌ Incorreta

A primeira parte afirma "existe F tal que F é maior que G" – o oposto do correto (deveria ser "não é maior"). A segunda parte: "Algum planeta H não é habitável" nega a parte errada (deveria ser "existe H habitável") e "todo planeta H é menor que os planetas F" não corresponde à negação exigida.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Primeira parte repete o erro de B ("F maior que G"). Segunda parte: "Todos os planetas H são habitáveis" é universal, quando deveria ser existencial; e "todos os planetas H são maiores que os planetas F" inverte completamente o sentido.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Primeira parte repete o erro de A (universal e predicado trocado). Segunda parte: "Todos os planetas H são habitáveis" é universal (deveria ser existencial), embora a segunda metade "não existem planetas H maiores" esteja correta; mas a conjunção exige ambas as partes, e a primeira está errada.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A primeira parte usa corretamente o quantificador existencial e o predicado negado ("não é maior"). A segunda parte usa a conjunção "e" e os componentes corretos: "existe um planeta H que é habitável" (negação de "todos não são habitáveis") e "nenhum planeta H é maior que os planetas F" (negação de "existe pelo menos um H maior que todos os F").

Gabarito: letra E