Matemática Financeira · CEV-URCA · 2019 | Questão sqc-qq428798

Juros Compostos – Dobro do Capital

Gabarito: letra C (14 meses). Em juros compostos, o montante é dado por $M = C (1+i)^n$ . Para que o capital dobre, $M = 2C$ , logo $2 = (1,05)^n$ . Aplicando logaritmos: $\log 2 = n \log 1,05$ . O enunciado fornece $\log 2 \cong 0,3010$ e $\log 105 \cong 2,0212$ . Como $1,05 = \frac{105}{100}$ , temos $\log 1,05 = \log 105 - \log 100 = 2,0212 - 2 = 0,0212$ . Assim, $n = \frac{0,3010}{0,0212} \cong 14,198$ meses, ou aproximadamente 14 meses.

Alternativa A — ❌ Incorreta

12 meses. Para n=12, $(1,05)^{12} \approx 1,7959$ , insuficiente para dobrar.

Alternativa B — ❌ Incorreta

13 meses. $(1,05)^{13} \approx 1,8856$ , ainda abaixo de 2.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme cálculo: $n = \frac{\log 2}{\log 1,05} = \frac{0,3010}{0,0212} \approx 14,198$ , arredondando para 14 meses.

Alternativa D — ❌ Incorreta

15 meses. $(1,05)^{15} \approx 2,0789$ , já ultrapassa 2, mas o tempo mínimo aproximado é 14 meses.

Alternativa E — ❌ Incorreta

16 meses. $(1,05)^{16} \approx 2,1829$ , supera o necessário.

PEGA ESSA DICA!

Quando a banca fornece logaritmos de números como 105, lembre-se de que $\log(ab) = \log a + \log b$ e $\log(a/b) = \log a - \log b$ . Use essas propriedades para obter o log da taxa (1+i) a partir de dados indiretos. Treine essas manipulações, pois são recorrentes em questões de prazo ou taxa com logaritmos.

Gabarito: letra C.