Estatística · FUNDATEC · 2019 | Questão sqc-qq467727

Intervalo de confiança para proporção

SE LIGUE NESSA!

Esta questão depende de um texto-base/tabela compartilhado com outras questões da mesma prova, e esse texto não está disponível. Os dados que faltam (valores, tabela, RCL, datas do caso) estão nele. O raciocínio abaixo é o método — confira os valores no enunciado original.

Gabarito: letra E. O intervalo de confiança para proporção é construído com a fórmula $\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ , em que $\hat{p}$ é a proporção amostral, $z$ é o quantil da normal padrão (1,96 para 95%) e $n$ é o tamanho da amostra. Com os dados do enunciado — 44 empresas com sonegação em 576 — a proporção amostral é $\hat{p} = 44/576 \approx 0,0764$ , e o intervalo resultante é aproximadamente [0,0547; 0,0981], que corresponde à alternativa E.

O intervalo de confiança para proporção é um dos temas mais cobrados em estatística inferencial. A ideia central é estimar um parâmetro populacional desconhecido (a verdadeira proporção de empresas com sonegação no município) a partir de uma estimativa pontual (a proporção amostral), acrescentando uma margem de erro que depende do nível de confiança desejado e da variabilidade amostral.

A fórmula geral é:

\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Onde:

$\hat{p}$ = proporção amostral (número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra);
$z_{\alpha/2}$ = quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança (para 95%, $z = 1,96$ );
$n$ = tamanho da amostra.

Como a proporção populacional $p$ é desconhecida, usamos a proporção amostral $\hat{p}$ como estimativa, tanto no centro do intervalo quanto no cálculo do erro padrão. Essa é a abordagem padrão quando não há informação prévia sobre $p$ .

A pegadinha clássica da banca nesse tipo de questão é trocar o valor da proporção amostral ou errar o cálculo da raiz quadrada. Outra armadilha comum é usar $z = 1,645$ (para 90%) em vez de $z = 1,96$ (para 95%), ou esquecer de multiplicar pelo quantil correto.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo [0,0755; 0,0773] é extremamente estreito, o que sugere um erro padrão muito pequeno. Isso ocorreria se o candidato calculasse o erro padrão sem dividir pela raiz de $n$ , ou se usasse um valor de $z$ incorreto. O intervalo correto tem amplitude muito maior, pois o erro padrão da proporção com $n = 576$ e $\hat{p} \approx 0,0764$ é de aproximadamente 0,011, e multiplicado por 1,96 resulta em uma margem de erro de cerca de 0,022.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo [0,0707; 0,0820] também é estreito demais. Esse valor poderia surgir se o candidato usasse $z = 1,645$ (nível de 90%) em vez de $z = 1,96$ , ou se errasse o cálculo da raiz quadrada. A margem de erro correta é de aproximadamente 0,022, não 0,006.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo [0,0514; 0,1014] tem a amplitude correta (0,05), mas está deslocado para a esquerda. Isso indica que o candidato usou uma proporção amostral incorreta, provavelmente $\hat{p} = 44/576$ calculada de forma errada, ou usou $\hat{p} = 0,05$ (valor arbitrário) em vez da proporção observada. O centro do intervalo correto é $\hat{p} \approx 0,0764$ , não 0,0764.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo [0,0706; 0,0822] é muito estreito, com amplitude de apenas 0,0116. Isso sugere que o candidato usou um valor de $z$ incorreto (talvez $z = 1$ ou $z = 0,5$ ) ou errou o cálculo do erro padrão. A margem de erro correta é de aproximadamente 0,022, o que dá uma amplitude de cerca de 0,044.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo [0,0547; 0,0981] é o único que corresponde ao cálculo correto. Com $\hat{p} = 44/576 \approx 0,0764$ , $n = 576$ e $z = 1,96$ , temos:

\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0,0764 \pm 1,96 \sqrt{\frac{0,0764 \times 0,9236}{576}}

= 0,0764 \pm 1,96 \times 0,0111 = 0,0764 \pm 0,0217

= [0,0547; 0,0981]

O intervalo está centrado na proporção amostral e tem a amplitude correta, refletindo a incerteza amostral para um nível de confiança de 95%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora o erro de cálculo da raiz quadrada e a confusão entre o quantil $z$ para 95% (1,96) e para 90% (1,645). As alternativas B e D têm centros próximos do correto, mas amplitudes muito menores, o que indica erro no erro padrão. Já a alternativa C tem a amplitude certa, mas o centro deslocado, sugerindo erro na proporção amostral. Com treino, você identifica esses padrões de distrator de longe 💪.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança para proporção, siga sempre o roteiro: (1) calcule $\hat{p} = x/n$ ; (2) identifique o $z$ correto (95% → 1,96; 90% → 1,645; 99% → 2,576); (3) calcule o erro padrão $\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}$ ; (4) monte o intervalo $\hat{p} \pm z \times \text{erro padrão}$ . Confira se o centro do intervalo bate com $\hat{p}$ e se a amplitude é compatível com o nível de confiança.

Gabarito: letra E