Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FUNDATEC 2019

Taxa efetiva anual a partir de taxa nominal

Gabarito: letra D. A taxa nominal de 15% ao ano, capitalizada quadrimestralmente, corresponde a uma taxa efetiva de 5% ao quadrimestre ($15\% / 3 = 5\%$). Para encontrar a taxa efetiva anual, devemos capitalizar essa taxa quadrimestral durante os 3 quadrimestres que compõem um ano, utilizando a fórmula de juros compostos: $i_{efetiva} = (1 + i_{quadrimestral})^3 - 1$.

Resolução passo a passo

1. Identificação da taxa efetiva do período de capitalização: Como a taxa nominal de 15% a.a. é capitalizada quadrimestralmente e um ano possui 3 quadrimestres, a taxa efetiva por quadrimestre é:

   $i_q = \frac{15\%}{3} = 5\% = 0,05$

1. Cálculo da taxa efetiva anual: Elevamos o fator de capitalização $(1 + i_q)$ ao número de períodos no ano ($n = 3$):

   $Fator = (1 + 0,05)^3 = (1,05)^3$

   $1,05 \times 1,05 = 1,1025$

   $1,1025 \times 1,05 = 1,157625$

1. Conversão para percentual:

   $i_{efetiva\_anual} = (1,157625 - 1) \times 100 = 15,7625\% \approx 15,76\%$

Análise das alternativas

• Alternativa A (60%): Errada. Resultaria de uma soma simples ($15\% \times 4$), ignorando o efeito da capitalização composta.

• Alternativa B (45%): Errada. Resultaria de uma soma simples ($15\% \times 3$), também ignorando a capitalização.

• Alternativa C (25,24%): Errada. Este valor seria obtido se a taxa nominal fosse capitalizada trimestralmente ($15\% / 4 = 3,75\%$; $1,0375^4 \approx 1,1586$, ou erro de cálculo de base).

• Alternativa D (15,76%): Correta. Corresponde exatamente ao cálculo de juros compostos para 3 períodos de 5%.

• Alternativa E (12,68%): Errada. Valor sem fundamento lógico para o problema proposto.

Gabarito: letra D