Questão de Matemática — Álgebra — INSTITUTO AOCP 2020
Matemática›Álgebra
Código
qq603285
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
Prefeitura de Cariacica - ES
Ano
2020
Nível
Médio
Cargo
Fiscal de Tributos Municipais
Duas peças teatrais foram apresentadas em um teatro, em dois horários distintos. A primeira peça começou às 19h, com duração de 1 hora e a segunda começou às 20h 30min, com a mesma duração da peça anterior. 260 pessoas compareceram ao teatro durante a apresentação dessas duas peças, sendo que, desse total, 180 pessoas assistiram à primeira peça teatral e 60 pessoas assistiram às duas peças teatrais. Dessa forma, a quantidade de pessoas que assistiu à segunda peça teatral é igual a
A70.
B100.
C120.
D140.
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GabaritoD — 140.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 140 pessoas (alternativa D).
A ideia por trás
Em problemas de conjuntos, lidamos com grupos de pessoas ou objetos que podem se sobrepor. A união de dois conjuntos é o total de elementos que pertencem a pelo menos um deles, e a interseção é o que pertence a ambos ao mesmo tempo. A fórmula da união, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), surge porque, ao somar os dois conjuntos, contamos duas vezes os elementos da interseção, então precisamos subtraí-los uma vez. Nesta questão, temos o total (união), o tamanho de um conjunto e a interseção, e precisamos achar o tamanho do outro conjunto.
O que a questão dá
total de pessoas que compareceram = 260
pessoas que assistiram à primeira peça = 180
pessoas que assistiram às duas peças = 60
O que queremos: a quantidade de pessoas que assistiu à segunda peça
Passo 1 — Identificar os conjuntos e seus valores
Antes de aplicar qualquer fórmula, precisamos saber o que cada número do enunciado representa. Aqui, temos três informações: o total de pessoas (união), quantas assistiram à primeira peça (conjunto A) e quantas assistiram às duas (interseção). A incógnita é o tamanho do conjunto B (segunda peça).
NÃO CAIA NESSA!
Confundir 'assistiu à segunda peça' com 'assistiu somente à segunda peça'. O total do conjunto B inclui quem também viu a primeira.
Passo 2 — Montar a equação da união
A união de dois conjuntos é o total de pessoas que assistiram a pelo menos uma das peças. Como o enunciado dá esse total (260), podemos relacionar os tamanhos dos conjuntos com a interseção. A fórmula da união é a ferramenta certa porque ela conecta exatamente as grandezas que conhecemos e a que queremos.
Por que esta fórmula: A fórmula n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) é a relação fundamental entre união, interseção e os conjuntos individuais. Ela é usada sempre que temos dois conjuntos que podem se sobrepor e queremos relacionar seus tamanhos.
De onde vem cada valor: = enunciado: 260 pessoas compareceram · = enunciado: 180 assistiram à primeira · = enunciado: 60 assistiram às duas
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair a interseção, o que daria n(B) = 80, um valor que não está nas alternativas.
Passo 3 — Simplificar a equação
Para isolar a incógnita n(B), primeiro simplificamos o lado direito da equação, combinando os números conhecidos. Isso reduz a equação a uma forma mais simples, onde a incógnita aparece sozinha de um lado.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 2: 180 - 60 · = incógnita
NÃO CAIA NESSA!
Fazer 180 + 60 = 240 em vez de 180 - 60 = 120, invertendo o sinal da interseção.
Passo 4 — Isolar n(B) subtraindo 120
Agora que a equação está na forma 260 = 120 + n(B), precisamos deixar n(B) sozinho. Subtraímos 120 dos dois lados para manter a igualdade, o que nos dá o valor procurado.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair 180 de 260, obtendo 80, ou subtrair 60 de 180, obtendo 120 — ambos ignoram a estrutura da equação.