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Questão de Matemática — Progressão Geométrica - PG — FUNDATEC 2021

MatemáticaProgressão Geométrica - PG
Código
qq641028
Banca
FUNDATEC
Órgão
Carris Porto-Alegrense
Ano
2021
Nível
Superior
Cargo
Auditor
As medidas de um paralelepípedo crescem em progressão geométrica de ordem 2. Se a primeira (e menor) medida vale α, então a diagonal desse paralelepípedo é dada por:
  1. A8α
  2. B16α
  3. Cα√21
  4. Dα√20
  5. E30α
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GabaritoC — α√21

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a α√21 (alternativa C).

A ideia por trás

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo é o anterior multiplicado por uma constante chamada razão. Aqui, as três arestas do paralelepípedo formam uma PG de razão 2, começando por α, então elas são α, 2α e 4α. A diagonal de um paralelepípedo retângulo é o segmento que liga dois vértices opostos, e seu comprimento é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das três arestas: d = √(x² + y² + z²). Essa fórmula generaliza o Teorema de Pitágoras para o espaço: primeiro a diagonal de uma face, depois a diagonal do sólido. Nesta questão, precisamos aplicar essa fórmula às arestas em PG e simplificar a expressão resultante.

O que a questão dá

  • primeira medida = α

  • razão da PG = 2

O que queremos: a diagonal do paralelepípedo em função de α

Passo 1 — Determinar as três arestas da PG

Precisamos conhecer as três medidas do paralelepípedo para poder calcular a diagonal. Como elas formam uma PG de razão 2, cada termo é o dobro do anterior.

Por que esta fórmula: Em uma PG, o termo geral é a₁·q^(n-1). Aqui a₁ = α e q = 2, então os termos são α, α·2 e α·2².

an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: primeira medida = α · qq = enunciado: razão = 2 · nn = posição do termo (1, 2, 3)

a1=α,a2=α⋅2=2α,a3=α⋅22=4α=α,2αe4αa_1 = \alpha, \quad a_2 = \alpha \cdot 2 = 2\alpha, \quad a_3 = \alpha \cdot 2^{2} = 4\alpha = \boxed{\alpha , 2\alpha \text{e} 4\alpha}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a razão é 2 e usar 3 ou outro número, ou achar que os termos são α, α+2, α+4.

Passo 2 — Aplicar a fórmula da diagonal

Com as três arestas conhecidas, podemos calcular a diagonal do sólido. A diagonal é a raiz quadrada da soma dos quadrados das três dimensões, pois ela é a hipotenusa de um triângulo retângulo no espaço.

Por que esta fórmula: A diagonal de um paralelepípedo retângulo é dada por d = √(x² + y² + z²), onde x, y, z são as arestas. É a extensão do Teorema de Pitágoras para três dimensões.

d = √(x^2 + y^2 + z^2)

De onde vem cada valor: xx = passo 1: α · yy = passo 1: 2α · zz = passo 1: 4α

d = √(α^2 + (2α)^2 + (4α)^2)
d = √(α^2 + 4α^2 + 16α^2)
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas duas dimensões (diagonal da face) ou esquecer de elevar ao quadrado cada aresta.

Passo 3 — Somar os quadrados das arestas

Precisamos simplificar a expressão dentro da raiz para extrair a raiz quadrada. Somamos os termos que têm α².

Por que esta fórmula: Como todos os termos têm α², podemos somar os coeficientes: 1 + 4 + 16 = 21.

α2+4α2+16α2=21α2\alpha^{2} + 4\alpha^{2} + 16\alpha^{2} = 21\alpha^{2}

De onde vem cada valor: α2\alpha^{2} = passo 2: primeiro termo ao quadrado · 4α24\alpha^{2} = passo 2: (2α)² = 4α² · 16α216\alpha^{2} = passo 2: (4α)² = 16α²

1α2+4α2+16α2=21α2=21 α21\alpha^{2} + 4\alpha^{2} + 16\alpha^{2} = 21\alpha^{2} = \boxed{21\ \alpha ^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o termo α² e somar apenas 4 + 16 = 20, caindo na alternativa D.

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada

A diagonal é a raiz quadrada da soma dos quadrados. Como 21α² é um quadrado perfeito em relação a α, podemos tirar α da raiz.

Por que esta fórmula: √(21α²) = √21 · √(α²) = α√21, pois α é positivo (medida).

d = √(21α^2 = α√(21))

De onde vem cada valor: 21α221\alpha^{2} = passo 3

d = sqrt21α^2 = α√(21) = α √21
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar o α da raiz, ficando com √(21α²) sem simplificar, ou errar a raiz de 21.

Resposta: α√21 (alternativa C)

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