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Questão de Matemática — Problemas — FUNDATEC 2021

MatemáticaProblemas
Código
qq641031
Banca
FUNDATEC
Órgão
Carris Porto-Alegrense
Ano
2021
Nível
Superior
Cargo
Auditor
Uma empresa particular de transporte cobra, para um trajeto específico intermunicipal, R$ 10,00 e estuda aumentar esse valor. Essa empresa, após longo estudo, constatou que, para cada real aumentado, perderá dois clientes por viagem. Sendo assim, sabendo que a lotação máxima do ônibus usado é de 30 passageiros e que as viagens sempre estão com a capacidade máxima, pode-se concluir que o valor aumentado que resulta em maior lucro é de:
  1. AR$ 1,00.
  2. BR$ 2,00.
  3. CR$ 2,50.
  4. DR$ 3,00.
  5. ER$ 3,50.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — R$ 2,50.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 2,50 (alternativa C).

A ideia por trás

Quando uma empresa aumenta o preço, ela ganha mais por cliente, mas pode perder clientes. O lucro total é o produto do preço pela quantidade vendida. Neste problema, o preço e a quantidade dependem do aumento, então o lucro vira uma função do aumento. Essa função é uma parábola com concavidade para baixo, porque o termo quadrático é negativo — ou seja, o lucro cresce até um ponto e depois diminui. O ponto de máximo de uma parábola é o vértice, cuja coordenada x é dada por x_v = -b/(2a). Aqui, modelamos o lucro como L(x) = (10 + x)(30 - 2x), expandimos para a forma ax² + bx + c e calculamos o vértice para achar o aumento ótimo.

O que a questão dá

  • preço atual = R$ 10,00

  • perda de clientes = 2 por real de aumento

  • lotação máxima = 30 passageiros

  • viagens sempre cheias

O que queremos: o valor do aumento que maximiza o lucro

Passo 1 — Definir a variável do aumento

Precisamos de um nome para o valor que queremos descobrir. Chamar o aumento de x permite escrever as expressões do novo preço e da nova quantidade de passageiros.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que x é o aumento, não o preço final.

Passo 2 — Escrever o novo preço

O preço final é o preço atual mais o aumento. Isso é necessário para calcular a receita por passageiro.

Por que esta fórmula: O preço novo é a soma do preço antigo com o aumento, porque o aumento é adicionado ao valor original.

P(x)=10+xP(x) = 10 + x

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: preço atual R$ 10,00 · xx = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Usar 10 - x em vez de 10 + x, pensando que o preço diminui.

Passo 3 — Escrever a quantidade de passageiros

O número de passageiros diminui com o aumento. Precisamos dessa expressão para calcular o lucro total.

Por que esta fórmula: Para cada real de aumento, perdem-se 2 clientes. Então, se o aumento é x, a perda é 2x. A quantidade final é a lotação máxima menos a perda.

Q(x)=30−2xQ(x) = 30 - 2x

De onde vem cada valor: 3030 = enunciado: lotação máxima 30 passageiros · 22 = enunciado: perde 2 clientes por real · xx = passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a perda por x, usando 30 - 2.

Passo 4 — Montar a função lucro

O lucro é o que a empresa ganha por viagem: o preço de cada passagem vezes o número de passageiros. Multiplicamos as duas expressões que já temos.

Por que esta fórmula: Lucro = preço × quantidade. É a definição de receita, e aqui não há custos, então o lucro é a receita total.

L(x)=(10+x)⋅(30−2x)L(x) = (10 + x) \cdot (30 - 2x)

De onde vem cada valor: 10+x10 + x = passo 2 · 30−2x30 - 2x = passo 3

NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar, achando que o lucro é preço + quantidade.

Passo 5 — Expandir a função lucro

Para encontrar o vértice, precisamos da função na forma ax² + bx + c. Expandimos o produto usando a propriedade distributiva.

Por que esta fórmula: A forma expandida permite identificar os coeficientes a, b e c, que são usados na fórmula do vértice.

L(x)=300+10x−2x2L(x) = 300 + 10x - 2x^{2}

De onde vem cada valor: 300300 = 10 × 30 · 10x10x = 10 × (-2x) + x × 30 · −2x2-2x^{2} = x × (-2x)

(10+x)(30−2x)=300−20x+30x−2x2=300+10x−2x2(10 + x)(30 - 2x) = 300 - 20x + 30x - 2x^{2} = 300 + 10x - 2x^{2}
L(x)=300 +10x−2x2L(x) = \boxed{300\ + 10\text{x} - 2\text{x}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de algum termo, por exemplo, escrever +2x² em vez de -2x².

Passo 6 — Calcular o vértice da parábola

Como a função é uma parábola com concavidade para baixo (a = -2 < 0), o ponto de máximo é o vértice. A coordenada x do vértice dá o aumento que maximiza o lucro.

Por que esta fórmula: A abscissa do vértice de uma parábola y = ax² + bx + c é x_v = -b/(2a). Essa fórmula vem da derivada ou da simetria da parábola.

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 5: b = 10 · aa = passo 5: a = -2

xv=−102⋅(−2)=−10−4=2,5x_v = -\frac{10}{2 \cdot (-2)} = -\frac{10}{-4} = 2{,}5
xv=2,5x_v = \boxed{2{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os sinais ou esquecer o sinal de menos, resultando em -2,5.

Resposta: R$ 2,50 (alternativa C)

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