Matemática · FUNDATEC · 2021 | Questão sqc-qq641034

Interseção entre reta e circunferência

Gabarito: letra C — os valores de $x$ para os quais a reta $y = 2x$ intersecta o círculo de raio 2 centrado na origem são $x = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ e $x = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ . Isso decorre de substituir $y = 2x$ na equação do círculo $x^2 + y^2 = 4$ e resolver a equação resultante.

A questão mistura dois conteúdos: a equação da circunferência (Geometria Analítica) e a resolução de uma equação do 2º grau. O círculo de raio 2 centrado na origem tem equação $x^2 + y^2 = 4$ . A reta $y = 2x$ é uma função linear (afim com $b=0$ ), que passa pela origem. Os pontos de interseção são as soluções do sistema formado pelas duas equações.

Substituindo $y = 2x$ na equação do círculo:

x^2 + (2x)^2 = 4 \Rightarrow x^2 + 4x^2 = 4 \Rightarrow 5x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{5} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}

Racionalizando: $\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ . Portanto, $x = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ e $x = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .

A pegadinha está em duas frentes: (1) esquecer que a equação do 2º grau tem duas soluções (uma positiva e uma negativa), e (2) não racionalizar o denominador, deixando a resposta como $\frac{2}{\sqrt{5}}$ em vez de $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ . A alternativa C traz exatamente a forma racionalizada com os dois sinais.

Caso	Atribuição de (x)	Resultado
Substituição na equação	$(x = \frac{2\sqrt{5}}{5})$	(5x^2 = 4) → $x^2 = \frac{4}{5}$ → Válido
Substituição na equação	$(x = -\frac{2\sqrt{5}}{5})$	(5x^2 = 4) → $x^2 = \frac{4}{5}$ → Válido
Alternativa A	(x = 1)	$5x^2 = 5 \neq 4$ → Inviável
Alternativa B	(x = 2)	$5x^2 = 20 \neq 4$ → Inviável
Alternativa D	$(x = \frac{4}{5})$	$5x^2 = \frac{16}{5} \neq 4$ → Inviável
Alternativa E	$(x = \pm \frac{4}{5})$	$5x^2 = \frac{16}{5} \neq 4$ → Inviável

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $x = 1$ . Se $x = 1$ , então $y = 2$ , e o ponto $(1,2)$ está a uma distância $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \approx 2,24$ da origem, que é maior que o raio 2. Logo, o ponto não pertence ao círculo. Além disso, a equação $5x^2 = 4$ não tem $x = 1$ como solução.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $x = 2$ . Se $x = 2$ , então $y = 4$ , e o ponto $(2,4)$ está a uma distância $\sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \approx 4,47$ da origem, muito além do raio 2. Também não satisfaz $5x^2 = 4$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a substituição leva a $x^2 = \frac{4}{5}$ , cujas soluções são $x = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$ . A alternativa traz exatamente esses dois valores, na forma racionalizada. É a única que apresenta o par completo e correto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $x = \frac{4}{5}$ . Esse valor é o resultado de $x^2 = \frac{4}{5}$ sem extrair a raiz quadrada — é o quadrado de $x$ , não o próprio $x$ . Além disso, falta o valor negativo. É um distrator clássico: o candidato resolve a equação até $x^2 = \frac{4}{5}$ e para por aí, esquecendo de aplicar $\sqrt{}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $x = \frac{4}{5}$ e $x = -\frac{4}{5}$ . Aqui o candidato até lembra das duas raízes, mas usa o valor de $x^2$ em vez de $x$ . O correto seria $\pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$ , não $\pm \frac{4}{5}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora dois erros comuns: (1) esquecer que a equação $x^2 = \frac{4}{5}$ tem duas soluções, $+$ e $-$ ; (2) confundir $x^2$ com $x$ , apresentando $\frac{4}{5}$ (que é o valor de $x^2$ ) como se fosse a resposta. A alternativa E cai exatamente nessa segunda armadilha: traz os dois sinais, mas com o valor errado. Fique atento: sempre que resolver $x^2 = k$ , lembre-se de que $x = \pm \sqrt{k}$ .

PEGA ESSA DICA!

Para questões de interseção entre uma reta e uma circunferência, o método é sempre o mesmo: (1) escreva a equação da circunferência ( $x^2 + y^2 = r^2$ se centrada na origem); (2) substitua a expressão de $y$ da reta; (3) resolva a equação resultante. Se a equação for do tipo $ax^2 = b$ , não se esqueça do $\pm$ na raiz. E, se a resposta tiver radical no denominador, racionalize — as bancas costumam apresentar a forma racionalizada.

Gabarito: letra C