Questão de Matemática — Função de 1º Grau ou Função Afim, Problemas com Equação e Inequações — FUNDATEC 2021

Domínio de uma função com raiz e denominador

Gabarito: letra B. O domínio da função $f(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x}$ é o conjunto dos números reais tais que $x+2 \geq 0$ (para a raiz existir) e $x \neq 0$ (para o denominador não zerar). Isso resulta em $x \geq -2$ com $x \neq 0$, ou seja, $D = [-2,0) \cup (0, +\infty)$.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $x$ para os quais a função está definida, ou seja, para os quais é possível calcular $f(x)$ sem violar as restrições matemáticas. No caso de uma expressão com raiz quadrada e denominador, há duas condições a impor:

1. Radicando não negativo: a raiz quadrada de um número real só existe se o radicando for maior ou igual a zero. Aqui, o radicando é $x+2$, então devemos ter $x+2 \geq 0$, o que dá $x \geq -2$.

2. Denominador não nulo: a divisão por zero não é definida, então o denominador $x$ não pode ser zero, ou seja, $x \neq 0$.

A interseção dessas duas condições é o domínio: todos os números reais maiores ou iguais a $-2$, exceto o zero. Em notação de intervalos, isso é $[-2,0) \cup (0, +\infty)$.

A pegadinha clássica dessa questão é esquecer de excluir o zero do domínio, ou então errar na inclusão do extremo $-2$. O valor $-2$ está incluído porque, quando $x = -2$, o radicando é zero, e a raiz de zero é definida (vale zero). Já o zero está excluído porque o denominador se anula, tornando a fração indefinida.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $D = \mathbb{R}$. Isso ignora tanto a restrição do radicando ($x \geq -2$) quanto a do denominador ($x \neq 0$). Para $x < -2$, a raiz quadrada de um número negativo não é um número real, e para $x = 0$ a função não está definida. Portanto, o domínio não pode ser todo o conjunto dos reais.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente o domínio correto: $[-2,0) \cup (0, +\infty)$. O intervalo $[-2,0)$ inclui o $-2$ (pois a raiz de zero é definida) e exclui o $0$ (pois o denominador não pode ser zero). O intervalo $(0, +\infty)$ cobre todos os valores positivos, que também satisfazem $x \geq -2$ e $x \neq 0$. A notação de colchete $[$ indica extremo incluído, e parêntese $($ indica extremo excluído.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $(-2,0) \cup (0, +\infty)$, que exclui o $-2$. Isso está errado porque $x = -2$ é um valor válido: o radicando $x+2$ é zero, e a raiz quadrada de zero é definida (vale zero). Portanto, o extremo $-2$ deve ser incluído no domínio, com colchete $[$, e não excluído com parêntese $($.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que $D = \mathbb{R} - \{-2\}$, ou seja, todos os reais exceto o $-2$. Isso está duplamente errado: primeiro, o $-2$ é um valor válido (como vimos), então não deveria ser excluído; segundo, o domínio também exclui o $0$, que não é mencionado. A alternativa confunde a restrição do denominador com a do radicando, e ainda exclui um valor que deveria estar incluído.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $D = \mathbb{R} - \{0\}$, ou seja, todos os reais exceto o zero. Isso considera apenas a restrição do denominador, mas ignora a restrição do radicando. Para $x < -2$, a raiz quadrada não é definida, então esses valores não podem pertencer ao domínio. O domínio correto é um subconjunto próprio de $\mathbb{R} - \{0\}$.

Gabarito: letra B.