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Questão de Matemática — Geometria Espacial — INSTITUTO AOCP 2021

MatemáticaGeometria Espacial
Código
qq661268
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
ITEP-RN
Ano
2021
Nível
Superior
Cargo
ITEP - RN - Perito Criminal - Área Geral
Um reservatório em formato cilíndrico encontrava-se completamente cheio de água. Essa água foi distribuída em baldes, também cilíndricos, cujo raio da base é 1/4 do raio da base do reservatório. Sabendo-se que foram necessários 128 baldes para esgotar toda a água desse reservatório, a altura de cada balde, em relação à altura do reservatório, é
  1. A1/10.
  2. B1/12.
  3. C1/9.
  4. D1/15.
  5. E1/8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 1/8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a A altura de cada balde é 1/8 da altura do reservatório. Alternativa E..

A ideia por trás

O volume de um cilindro mede o espaço que ele ocupa, dado por V = π r² h, onde r é o raio da base e h é a altura. Essa fórmula mostra que o volume cresce com o quadrado do raio: se você dobra o raio, o volume quadruplica (para a mesma altura). Por isso, quando comparamos dois cilindros, a razão entre seus volumes depende do quadrado da razão entre os raios e da razão entre as alturas. Nesta questão, o reservatório e cada balde são cilindros, e o raio do balde é 1/4 do raio do reservatório. Precisamos descobrir qual deve ser a altura do balde para que 128 baldes cheios esgotem exatamente o reservatório, ou seja, o volume total dos baldes deve igualar o volume do reservatório.

O que a questão dá

  • raio do balde = 1/4 do raio do reservatório

  • número de baldes = 128

  • reservatório e baldes são cilíndricos

O que queremos: a altura de cada balde em relação à altura do reservatório

Passo 1 — Escrever os volumes do reservatório e do balde

Para comparar o reservatório com os baldes, precisamos das expressões dos volumes de cada um. O volume de um cilindro é a área da base (π r²) vezes a altura (h). Como o raio do balde é 1/4 do raio do reservatório, substituímos r por R/4 na fórmula do balde.

Por que esta fórmula: A fórmula do volume do cilindro é V = π r² h, pois a base é um círculo de área π r² e o volume é essa área multiplicada pela altura. É a relação que liga raio e altura ao espaço ocupado.

Vres=πR2H,Vbalde=π(R4)2hV_{res} = \pi R^{2} H, \quad V_{balde} = \pi \left(\frac{R}{4}\right)^{2} h

De onde vem cada valor: RR = enunciado: raio do reservatório (não dado numericamente, é a referência) · HH = enunciado: altura do reservatório (não dada numericamente) · R4\frac{R}{4} = enunciado: raio do balde é 1/4 do raio do reservatório · hh = enunciado: altura do balde (é o que queremos descobrir)

Vres=πR2H,Vbalde=π(R4)2hV_{res} = \pi R^{2} H, \quad V_{balde} = \pi \left(\frac{R}{4}\right)^{2} h
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar o raio ao quadrado no volume do balde, escrevendo π (R/4) h em vez de π (R/4)² h.

Passo 2 — Simplificar o volume do balde

O volume do balde tem (R/4)², que é R²/16. Simplificar agora deixa a equação mais limpa e mostra que a área da base do balde é 1/16 da área do reservatório.

Por que esta fórmula: Ao elevar (R/4) ao quadrado, temos R²/16, pois (a/b)² = a²/b². Isso é uma manipulação algébrica para facilitar a comparação.

V_balde = π fracR^216 h

De onde vem cada valor: π\pi = constante · R2R^{2} = passo 1: raio do reservatório ao quadrado · 1616 = passo 1: 4² = 16 · hh = enunciado: altura do balde

V_balde = π fracR^216 h
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que (R/4)² = R²/16, escrevendo R²/4.

Passo 3 — Igualar o volume total dos baldes ao do reservatório

Como 128 baldes esgotam o reservatório, o volume total dos baldes (128 vezes o volume de um balde) deve ser igual ao volume do reservatório. Essa igualdade é a ponte entre os dois cilindros.

Por que esta fórmula: A condição do problema é que a soma dos volumes dos 128 baldes preenche exatamente o reservatório, então V_res = 128 · V_balde.

π R^2 H = 128 · π fracR^216 h

De onde vem cada valor: πR2H\pi R^{2} H = passo 1: volume do reservatório · 128128 = enunciado: número de baldes · π fracR^216 h = passo 2: volume de um balde

π R^2 H = 128 · π fracR^216 h
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a igualdade, colocando 128 do lado errado, ou esquecer de multiplicar o volume do balde por 128.

Passo 4 — Cancelar os fatores comuns

A equação tem π R² dos dois lados. Como são diferentes de zero, podemos dividir ambos os lados por π R², simplificando a equação e isolando a relação entre H e h.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por π R² é uma operação algébrica válida, pois π e R² são positivos (raio não é zero). Isso elimina os termos comuns.

H=128⋅h16H = 128 \cdot \frac{h}{16}

De onde vem cada valor: HH = passo 3: altura do reservatório · 128128 = enunciado: número de baldes · hh = passo 3: altura do balde · 1616 = passo 2: denominador do volume do balde

H=128⋅h16H = 128 \cdot \frac{h}{16}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar π R² e tentar resolver com eles ainda presentes, complicando a conta.

Passo 5 — Calcular a razão entre as alturas

Agora temos uma equação simples ligando H e h. Para achar h em relação a H, dividimos ambos os lados por 8, obtendo h = H/8.

Por que esta fórmula: 128/16 = 8, então H = 8h. Isolando h, dividimos por 8: h = H/8.

h=H8h = \frac{H}{8}

De onde vem cada valor: HH = passo 4: altura do reservatório · 88 = passo 4: 128/16 = 8

h=H8h = \frac{H}{8}
h=H/8h = \boxed{\text{H}/8}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 128/16 = 8 e depois inverter, achando h = 8H.

Resposta: A altura de cada balde é 1/8 da altura do reservatório. Alternativa E.

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