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Questão de Matemática — Progressão Aritmética - PA — INSTITUTO AOCP 2021

MatemáticaProgressão Aritmética - PA
Código
qq661275
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
ITEP-RN
Ano
2021
Nível
Superior
Cargo
ITEP - RN - Perito Criminal - Área Geral
Três peritos, A, B e C, realizaram perícias e as quantidades de perícias realizadas estão em P.A. crescente cuja soma é 30. Além disso, somando-se 1, 8 e 24, respectivamente, às quantidades de perícias realizadas por esses peritos, obtém-se uma P.G. Sabendo-se que o perito C realizou a maior quantidade de perícias, esse perito realizou
  1. A8 perícias.
  2. B9 perícias.
  3. C10 perícias.
  4. D12 perícias.
  5. E14 perícias.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 12 perícias.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 12 perícias (alternativa D).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (P.A.) é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante; já uma progressão geométrica (P.G.) tem razão constante entre termos consecutivos. Para três termos em P.A., é conveniente escrevê-los como (x-r, x, x+r), pois a soma fica simples: 3x. Numa P.G. de três termos, vale a propriedade: o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos. Nesta questão, usamos a soma da P.A. para achar x, e a condição de P.G. para achar r, garantindo que a P.A. seja crescente (r>0).

O que a questão dá

  • soma das perícias = 30

  • soma 1, 8 e 24 aos termos forma uma P.G.

  • P.A. crescente de três termos

O que queremos: a quantidade de perícias do perito C (o maior termo da P.A.)

Passo 1 — Escrever os termos da P.A. como (x-r, x, x+r)

Para três termos em P.A., essa notação facilita a soma: a soma vira 3x, eliminando o r de uma vez. É o truque padrão para problemas com três termos em P.A.

Por que esta fórmula: A P.A. tem diferença constante r; então, se o termo do meio é x, o anterior é x-r e o seguinte é x+r.

a1=x−r,a2=x,a3=x+ra_1 = x - r, \quad a_2 = x, \quad a_3 = x + r

De onde vem cada valor: xx = termo central da P.A. · rr = razão da P.A.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a P.A. é crescente, o que exige r > 0.

Passo 2 — Usar a soma para achar x

A soma dos três termos é dada como 30; com a notação do passo 1, a soma é simplesmente 3x, então podemos achar x imediatamente.

Por que esta fórmula: A soma de (x-r) + x + (x+r) é 3x, pois -r e +r se cancelam.

3x=303x = 30

De onde vem cada valor: 3x3x = soma dos três termos da P.A. (passo 1) · 3030 = enunciado: soma das perícias é 30

3x=303x = 30
x=10x = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir errado: 30/3 = 10, não 9.

Passo 3 — Montar a sequência da P.G. somando 1, 8 e 24

O enunciado diz que, somando 1, 8 e 24 aos termos da P.A., obtemos uma P.G. Precisamos escrever esses novos termos para aplicar a propriedade da P.G.

Por que esta fórmula: Somamos os valores indicados a cada termo da P.A.: (x-r)+1, x+8, (x+r)+24.

b1=x−r+1,b2=x+8,b3=x+r+24b_1 = x - r + 1, \quad b_2 = x + 8, \quad b_3 = x + r + 24

De onde vem cada valor: xx = passo 2: x = 10 · rr = razão da P.A. (ainda desconhecida) · 1,8,241, 8, 24 = enunciado: somar 1, 8 e 24 respectivamente

b1=10−r+1=11−r,b2=10+8=18,b3=10+r+24=34+r=seque^ncia:(11−r,18,34+r)b_1 = 10 - r + 1 = 11 - r, \quad b_2 = 10 + 8 = 18, \quad b_3 = 10 + r + 24 = 34 + r = \boxed{\text{sequ}ê\text{ncia}: (11-\text{r}, 18, 34+\text{r})}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: 10+8 é 18, não 16.

Passo 4 — Aplicar a propriedade da P.G. para achar r

Numa P.G. de três termos, o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos. Isso nos dá uma equação para r.

Por que esta fórmula: A propriedade fundamental da P.G.: se (b1, b2, b3) é P.G., então b2² = b1·b3.

b22=b1⋅b3b_2^{2} = b_1 \cdot b_3

De onde vem cada valor: b1b_1 = passo 3: 11 - r · b2b_2 = passo 3: 18 · b3b_3 = passo 3: 34 + r

182=(11−r)(34+r)18^{2} = (11 - r)(34 + r)
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de expandir corretamente o produto: (11-r)(34+r) = 374 + 11r - 34r - r² = 374 - 23r - r².

Passo 5 — Resolver a equação do segundo grau

A equação do passo 4 é uma quadrática; precisamos resolvê-la para achar r, lembrando que r > 0 (P.A. crescente).

Por que esta fórmula: Expandimos e rearranjamos para a forma ax² + bx + c = 0 e usamos a fórmula de Bhaskara.

r2+23r−50=0r^{2} + 23r - 50 = 0

De onde vem cada valor: r2+23r−50r^{2} + 23r - 50 = passo 4: 324 = 374 - 23r - r² → r² + 23r - 50 = 0

r=−23±232−4⋅1⋅(−50)2⋅1=−23±529+2002=−23±7292=−23±272r = \frac{-23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-50)}}{2 \cdot 1} = \frac{-23 \pm \sqrt{529 + 200}}{2} = \frac{-23 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{-23 \pm 27}{2}

r = 2 (a raiz positiva; a negativa r = -25 é descartada)

NÃO CAIA NESSA!

Usar a raiz negativa r = -25, o que daria P.A. decrescente, contrariando o enunciado.

Passo 6 — Calcular os termos da P.A. e identificar o maior

Com x = 10 e r = 2, podemos achar os três termos da P.A. e ver qual é o maior, que corresponde ao perito C.

Por que esta fórmula: Substituímos x e r na notação do passo 1.

a1=x−r,a2=x,a3=x+ra_1 = x - r, \quad a_2 = x, \quad a_3 = x + r

De onde vem cada valor: xx = passo 2: 10 · rr = passo 5: 2

a1=10−2=8,a2=10,a3=10+2=12a_1 = 10 - 2 = 8, \quad a_2 = 10, \quad a_3 = 10 + 2 = 12

P.A. = (8, 10, 12); maior termo = 12

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o perito C com o termo do meio; C é o terceiro termo, 12.

Resposta: 12 perícias (alternativa D)

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