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Questão de Matemática — Geometria Plana — INSTITUTO AOCP 2021

MatemáticaGeometria Plana
Código
qq661276
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
ITEP-RN
Ano
2021
Nível
Superior
Cargo
ITEP - RN - Perito Criminal - Área Geral
Considere um triângulo isósceles T1 de 4 cm de base e 5 cm de altura e nele considere outro triângulo isósceles T2, porém invertido, de tal modo que sua base seja paralela à base de T1 e seu vértice seja o ponto médio da base de T1. Sabendo-se que a área máxima de T2 é igual a 2,5 cm2 , então a medida da base de T2 é
  1. A1,5 cm.
  2. B2,0 cm.
  3. C2,5 cm.
  4. D2,8 cm.
  5. E3,0 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 2,0 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a A base de T2 mede 2,0 cm (alternativa B)..

A ideia por trás

A área de um triângulo é metade do produto da base pela altura. Quando dois triângulos são semelhantes, a razão entre suas bases é igual à razão entre suas alturas. Nesta questão, T2 é semelhante a T1, pois ambos são isósceles e têm bases paralelas. A área de T2 varia conforme a posição de sua base; queremos a base que dá a área máxima, que é 2,5 cm².

O que a questão dá

  • base de T1 = 4 cm

  • altura de T1 = 5 cm

  • área máxima de T2 = 2,5 cm²

O que queremos: a medida da base de T2

Passo 1 — Relacionar base e altura de T2

Precisamos expressar a base de T2 em função de sua altura para depois calcular a área. Como T2 é semelhante a T1, a razão entre as bases é igual à razão entre as alturas.

Por que esta fórmula: A semelhança de triângulos garante que os lados correspondentes são proporcionais. Aqui, a base de T2 (b) corresponde à base de T1 (4 cm), e a altura de T2 a partir do vértice de T1 (5 - h) corresponde à altura total (5 cm).

b4=5−h5\frac{b}{4} = \frac{5 - h}{5}

De onde vem cada valor: bb = base de T2 (incógnita) · 44 = enunciado: base de T1 = 4 cm · 5−h5 - h = altura de T2 a partir do vértice de T1, onde h é a altura de T2 a partir da base de T1 · 55 = enunciado: altura de T1 = 5 cm

b4=5−h5\frac{b}{4} = \frac{5 - h}{5}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a altura de T2: ela é medida a partir da base de T1, então a altura a partir do vértice de T1 é 5 - h.

Passo 2 — Isolar a base b

Precisamos de uma expressão explícita para b em função de h para substituir na fórmula da área.

Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados da proporção por 4, obtemos b isolado.

b=4(5−h)5b = \frac{4(5 - h)}{5}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1: base de T1 · 5−h5 - h = passo 1: altura de T2 a partir do vértice de T1 · 55 = passo 1: altura de T1

b=4(5−h)5b = \frac{4(5 - h)}{5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 4 ou inverter a razão.

Passo 3 — Escrever a área de T2

A área de T2 depende de b e h. Substituímos b pela expressão do passo 2 para obter uma função apenas de h.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é base vezes altura dividido por 2.

A=b⋅h2A = \frac{b \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: bb = passo 2 · hh = altura de T2 a partir da base de T1 (incógnita)

A=4(5−h)5⋅h2A = \frac{\frac{4(5 - h)}{5} \cdot h}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a altura errada (5-h em vez de h).

Passo 4 — Simplificar a expressão da área

Simplificamos a expressão para identificar que é uma função quadrática, cujo máximo pode ser encontrado.

Por que esta fórmula: Multiplicando e dividindo, obtemos uma forma mais simples.

A=2h(5−h)5A = \frac{2h(5 - h)}{5}

De onde vem cada valor: 22 = de 4/2 · hh = altura de T2 · 5−h5 - h = passo 2 · 55 = passo 2

A=2h(5−h)5A = \frac{2h(5 - h)}{5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação algébrica.

Passo 5 — Encontrar a altura que maximiza a área

A função A(h) é uma parábola com concavidade para baixo; seu máximo ocorre no vértice. Precisamos do valor de h que maximiza a área.

Por que esta fórmula: Para uma função quadrática da forma A = ah² + bh + c, o vértice está em h = -b/(2a). Aqui, expandindo A = (2/5)(5h - h²) = -2/5 h² + 2h, temos a = -2/5 e b = 2.

hmax=−b2ah_{max} = \frac{-b}{2a}

De onde vem cada valor: bb = coeficiente linear da função A(h) = 2 · aa = coeficiente quadrático da função A(h) = -2/5

hmax=−22⋅(−2/5)=2,5 cmh_{max} = \frac{-2}{2 \cdot (-2/5)} = \boxed{2{,}5\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a fórmula errada do vértice ou confundir os coeficientes.

Passo 6 — Calcular a base correspondente

Com a altura que maximiza a área, usamos a relação de semelhança para encontrar a base de T2.

Por que esta fórmula: Substituímos h = 2,5 cm na expressão b = 4(5-h)/5.

b=4(5−h)5b = \frac{4(5 - h)}{5}

De onde vem cada valor: 44 = passo 1 · 5−h5 - h = passo 5: h = 2,5 cm · 55 = passo 1

b=4(5−2,5)5=2,0 cmb = \frac{4(5 - 2{,}5)}{5} = \boxed{2{,}0\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar h = 2,5 cm na expressão errada ou esquecer de subtrair de 5.

Resposta: A base de T2 mede 2,0 cm (alternativa B).

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