Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — INSTITUTO AOCP 2021

Teorema de Bayes: probabilidade a posteriori

Gabarito: letra A (22,2%). A questão pede a probabilidade de ter chovido dado que ocorreu um assalto — ou seja, uma probabilidade condicional "invertida", que se resolve pelo Teorema de Bayes: $P(Chuva|Assalto) = \frac{P(Assalto|Chuva) \cdot P(Chuva)}{P(Assalto)}$. Calculando: $P(Assalto) = 0{,}4 \cdot 0{,}3 + 0{,}6 \cdot 0{,}7 = 0{,}54$ e $P(Chuva|Assalto) = \frac{0{,}4 \cdot 0{,}3}{0{,}54} = \frac{0{,}12}{0{,}54} \approx 0{,}222 = 22{,}2\%$.

O Teorema de Bayes é a ferramenta para atualizar uma probabilidade inicial (a priori) quando se observa um evento que depende dela. Aqui, a probabilidade a priori de chuva é 30%. Quando sabemos que houve assalto, essa informação "repesa" as probabilidades: como assaltos são mais prováveis em noites sem chuva (60% contra 40%), a ocorrência de um assalto reduz a chance de que a noite tenha sido chuvosa — por isso o resultado (22,2%) fica abaixo dos 30% iniciais. A pegadinha clássica é tentar responder com a probabilidade direta de assalto em noite chuvosa (40%) ou com a simples interseção (12%), ignorando que o evento "assalto" já ocorreu e precisa ser o denominador.

Vamos organizar os dados:

• $P(Chuva) = 0{,}3$ (probabilidade a priori de chuva à noite)

• $P(\text{Sem chuva}) = 0{,}7$

• $P(Assalto|Chuva) = 0{,}4$

• $P(Assalto|\text{Sem chuva}) = 0{,}6$

Queremos $P(Chuva|Assalto)$. Pelo Teorema de Bayes:

O denominador $P(Assalto)$ é a probabilidade total de ocorrer um assalto, calculada pela lei da probabilidade total:

Substituindo:

Agora o numerador:

Portanto:

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É exatamente o resultado do Teorema de Bayes: $\frac{0{,}12}{0{,}54} \approx 0{,}222 = 22{,}2\%$. A alternativa espelha o cálculo correto da probabilidade condicional invertida.

Alternativa B — ❌ Incorreta

54,0% é a probabilidade total de ocorrer um assalto em uma noite qualquer ($P(Assalto) = 0{,}54$), não a probabilidade de ter chovido dado o assalto. O candidato que calcula apenas o denominador da fórmula de Bayes e o confunde com a resposta cai nessa alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

31,2% não corresponde a nenhuma operação direta com os dados. Pode ser uma tentativa de combinar as probabilidades de forma equivocada (por exemplo, $0{,}3 \times 0{,}4 + 0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}3$, ou algum produto cruzado). Não há fundamento teórico para esse valor.

Alternativa D — ❌ Incorreta

12,0% é a probabilidade da interseção $P(Assalto \cap Chuva) = 0{,}4 \times 0{,}3 = 0{,}12$. É o numerador da fórmula de Bayes, mas falta dividir pela probabilidade total do assalto (0,54). Quem responde 12% ignora que o evento "assalto" já é conhecido — a pergunta é condicional, não conjunta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

18,0% não tem correspondência direta com os dados. Pode ser uma tentativa de $0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$ (probabilidade de assalto em noite sem chuva vezes a probabilidade de chuva), mas isso não representa a probabilidade pedida. É um distrator sem base no Teorema de Bayes.

Gabarito: letra A — a probabilidade de ter chovido, dado que ocorreu um assalto, é de 22,2%.