Questão de Estatística — Probabilidade condicional, Teorema de Bayes e independência — INSTITUTO AOCP 2021

Probabilidade total: canetas sem tinta

Gabarito: letra D (59%). A probabilidade de uma caneta retirada ao acaso não ter tinta é a soma das probabilidades de cada cor multiplicada pela respectiva porcentagem de canetas sem tinta: $0,50 \times 0,70 + 0,30 \times 0,60 + 0,20 \times 0,30 = 0,35 + 0,18 + 0,06 = 0,59$. Esse é o Teorema da Probabilidade Total, que particiona o espaço amostral pelas cores das canetas.

A questão cobra o Teorema da Probabilidade Total, um dos pilares da probabilidade condicional. Quando um evento (a caneta não ter tinta) pode ocorrer por meio de várias causas mutuamente exclusivas (as cores), a probabilidade total é a média ponderada das probabilidades condicionais de cada causa, usando como pesos as probabilidades de cada causa ocorrer. Formalmente, se os eventos $C_1, C_2, \dots, C_n$ formam uma partição do espaço amostral, então:

Aqui, $E$ é o evento "caneta sem tinta", e as cores são a partição. A pegadinha clássica é o candidato calcular uma simples média aritmética das porcentagens de sem tinta ($(70+60+30)/3 = 53,3\%$), ignorando que as cores têm proporções diferentes na gaveta. A média ponderada é obrigatória.

Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Canetas pretas: 50% da gaveta, e 70% delas estão sem tinta → contribuição: $0,50 \times 0,70 = 0,35$ (35%)

2. Canetas azuis: 30% da gaveta, e 60% delas estão sem tinta → contribuição: $0,30 \times 0,60 = 0,18$ (18%)

3. Canetas vermelhas: 20% da gaveta, e 30% delas estão sem tinta → contribuição: $0,20 \times 0,30 = 0,06$ (6%)

Somando: $0,35 + 0,18 + 0,06 = 0,59 = 59\%$.

Uma forma alternativa de visualizar é supor uma quantidade total de canetas, por exemplo, 100. Assim, teríamos 50 pretas, 30 azuis e 20 vermelhas. Sem tinta: $50 \times 0,70 = 35$ pretas, $30 \times 0,60 = 18$ azuis e $20 \times 0,30 = 6$ vermelhas. Total sem tinta: $35 + 18 + 6 = 59$ de 100, ou seja, 59%. Esse raciocínio com valores absolutos é mais intuitivo e evita erros de ponderação.

Alternativa A — ❌ Incorreta

31% é um valor que não corresponde a nenhuma combinação direta dos dados. Pode ser a tentativa de somar apenas as porcentagens de sem tinta das cores menos representativas (30% + 20% = 50%, não 31%) ou um erro de cálculo na ponderação. Não há fundamento teórico para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

25% seria o resultado se você calculasse a média aritmética simples das porcentagens de sem tinta e depois aplicasse algum ajuste, mas a média correta é ponderada. A média aritmética simples seria $(70+60+30)/3 = 53,3\%$, que também não é 25%. Portanto, 25% é um distrator sem base nos cálculos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

50% é a porcentagem de canetas pretas na gaveta, não a probabilidade de não ter tinta. O candidato pode ter confundido a proporção de uma cor com a probabilidade total. A resposta correta é 59%, que é maior que 50% porque as cores com maior proporção (pretas e azuis) têm altas taxas de sem tinta.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a probabilidade total é $0,50 \times 0,70 + 0,30 \times 0,60 + 0,20 \times 0,30 = 0,35 + 0,18 + 0,06 = 0,59$, ou seja, 59%. A alternativa espelha exatamente o Teorema da Probabilidade Total, ponderando cada cor pela sua proporção na gaveta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

28% é um valor que não corresponde a nenhum cálculo direto. Pode ser a tentativa de somar as porcentagens de sem tinta das cores menos representativas (30% + 20% = 50%, não 28%) ou um erro de arredondamento. Não há base teórica para esse número.

Gabarito: letra D