Estatística · INSTITUTO AOCP · 2021 | Questão sqc-qq661509

Probabilidade Geométrica em um Círculo

Gabarito: letra B (56,25%). A probabilidade de o ponto escolhido estar a, no máximo, 1,5 cm da origem é a razão entre a área do círculo de raio 1,5 cm e a área do círculo de raio 2 cm, pois o ponto é escolhido uniformemente ao acaso. O cálculo é $\frac{\pi \cdot 1,5^2}{\pi \cdot 2^2} = \frac{2,25}{4} = 0,5625 = 56,25\%$ .

Este é um problema clássico de probabilidade geométrica, onde a probabilidade de um evento é proporcional à medida (área, comprimento ou volume) da região favorável dividida pela medida da região total do espaço amostral. Como o ponto é escolhido "ao acaso" dentro do círculo, cada ponto tem a mesma chance de ser selecionado, o que caracteriza uma distribuição uniforme contínua sobre a área do círculo.

A região favorável é o conjunto de pontos cuja distância à origem é menor ou igual a 1,5 cm, ou seja, um círculo concêntrico de raio 1,5 cm. A região total é o círculo de raio 2 cm. A probabilidade é, portanto, a razão entre as áreas desses dois círculos.

A pegadinha desta questão é que muitos candidatos tentam calcular a probabilidade usando a razão entre os raios (1,5/2 = 0,75 = 75%), o que está errado, pois a probabilidade é proporcional à área, não ao raio. Como a área é proporcional ao quadrado do raio, a razão correta é $(1,5/2)^2 = 0,5625$ .

Caso	Cálculo	Resultado
Razão entre áreas (correta)	$(\frac{\pi \cdot 1,5^2}{\pi \cdot 2^2} = \frac{2,25}{4})$	0,5625 = 56,25%
Razão entre raios (erro comum)	$(\frac{1,5}{2})$	0,75 = 75%
Razão com raio 1,5 sobre diâmetro 4 (erro)	$(\frac{1,5}{4})$	0,375 = 37,5%

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta o valor de 75%, que corresponde à razão direta entre os raios ( $\frac{1,5}{2} = 0,75$ ). O erro está em considerar a probabilidade proporcional ao raio, quando na verdade ela é proporcional à área. A área cresce com o quadrado do raio, então a razão correta é $\left(\frac{1,5}{2}\right)^2 = 0,5625$ .

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. A probabilidade é a razão entre a área do círculo de raio 1,5 cm e a área do círculo de raio 2 cm:

P = \frac{A_{1,5}}{A_2} = \frac{\pi \cdot (1,5)^2}{\pi \cdot (2)^2} = \frac{2,25 \pi}{4 \pi} = \frac{2,25}{4} = 0,5625 = 56,25\%

O fator $\pi$ se cancela, e o resultado é exatamente 56,25%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor de 25,75% não corresponde a nenhuma razão simples entre as áreas ou raios dos círculos. É um distrator numérico sem fundamento geométrico. A razão correta é 56,25%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor de 37,5% também não corresponde à razão correta entre as áreas. Poderia ser uma tentativa de calcular a razão entre os raios de forma incorreta (por exemplo, $\frac{1,5}{4} = 0,375$ ), mas isso não tem relação com a probabilidade geométrica do problema.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor de 12,5% é outro distrator. Não corresponde à razão entre as áreas dos círculos. A razão correta é 56,25%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre raio e área. O candidato apressado calcula $\frac{1,5}{2} = 0,75$ e marca a letra A (75%). Mas a probabilidade é proporcional à área, que varia com o quadrado do raio. Sempre que o espaço amostral for uma região geométrica (círculo, quadrado, retângulo), a probabilidade é a razão entre as medidas (áreas, comprimentos, volumes), não entre as dimensões lineares.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de probabilidade geométrica, identifique a "região favorável" e a "região total" e calcule a razão entre suas medidas. Se a região for um círculo, use a fórmula da área $A = \pi r^2$ . Lembre-se de que o $\pi$ geralmente se cancela, então a resposta final é uma razão entre os quadrados dos raios.

Gabarito: letra B