Questão de Física — Ondas e Propriedades Ondulatórias — INSTITUTO AOCP 2021

Espectro do átomo de hidrogênio: série de Balmer

Gabarito: letra B. A frequência da radiação emitida na transição de $n=4$ para $n=2$ é calculada pela fórmula de Rydberg para o hidrogênio, $f = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$, com $R = 3,29 \times 10^{15}\,\text{s}^{-1}$. Substituindo $n_i = 4$ e $n_f = 2$, obtém-se $f = 3,29 \times 10^{15} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right) = 3,29 \times 10^{15} \times \frac{3}{16} = 6,17 \times 10^{14}\,\text{Hz}$.

A questão cobra a aplicação direta da fórmula de Rydberg para o átomo de hidrogênio, que relaciona a frequência da radiação emitida (ou absorvida) com os números quânticos principais dos níveis envolvidos na transição. Essa fórmula é uma consequência do modelo atômico de Bohr, no qual o elétron só pode ocupar órbitas de energias discretas, e a diferença de energia entre dois níveis é emitida (ou absorvida) na forma de um fóton de frequência $f = \Delta E / h$.

A fórmula de Rydberg para a frequência é:

onde $R$ é a constante de Rydberg (em s⁻¹), $n_i$ é o nível inicial (maior energia) e $n_f$ é o nível final (menor energia). Como a transição é de $n=4$ para $n=2$, temos $n_i = 4$ e $n_f = 2$. Note que a ordem dos termos na subtração é importante: o termo com o menor denominador (maior fração) vem primeiro, garantindo que a frequência seja positiva (emissão).

Aplicando os valores:

A transição $n=4 \rightarrow n=2$ pertence à série de Balmer, que corresponde a transições que terminam no nível $n=2$ e produzem luz visível. A raia resultante é a linha H-beta (verde-azulada) do espectro do hidrogênio.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $4,57 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ não corresponde a nenhuma transição simples da série de Balmer. Ele poderia surgir de um erro de cálculo, como usar $\frac{1}{4} - \frac{1}{9}$ (transição $n=3 \rightarrow n=2$), que daria $f = 3,29 \times 10^{15} \times \frac{5}{36} \approx 4,57 \times 10^{14}\,\text{Hz}$. Ou seja, esse valor é o resultado da transição $n=3 \rightarrow n=2$, não da transição pedida.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $f = 6,17 \times 10^{14}\,\text{Hz}$. Esse é o valor exato da frequência da radiação emitida na transição $n=4 \rightarrow n=2$, obtido pela aplicação correta da fórmula de Rydberg.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$6,91 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ não é o resultado da fórmula com os dados fornecidos. Esse valor poderia resultar de um erro ao calcular a fração, por exemplo, usando $\frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ de forma incorreta, ou confundindo com outra transição. Não há uma transição simples que produza esse valor com a constante dada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$7,32 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ também não corresponde à transição pedida. Esse valor é próximo da frequência da transição $n=3 \rightarrow n=2$ (que é $4,57 \times 10^{14}$) e da transição $n=4 \rightarrow n=2$ (que é $6,17 \times 10^{14}$), mas não é nenhuma delas. Pode ser resultado de um erro de arredondamento ou de uso incorreto da fórmula.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$8,22 \times 10^{14}\,\text{Hz}$ é um valor que não corresponde a nenhuma transição da série de Balmer com a constante fornecida. Esse valor é maior que o correto e poderia surgir de um erro ao calcular a diferença das frações, como usar $\frac{1}{4} - \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ (esquecendo de subtrair), o que daria $f = 3,29 \times 10^{15} \times \frac{1}{4} = 8,225 \times 10^{14}\,\text{Hz}$. Ou seja, é o resultado de considerar apenas o termo $\frac{1}{n_f^2}$.

Gabarito: letra B