Matemática Financeira · FADESP · 2022 | Questão sqc-qq713946

Taxa Interna de Retorno (TIR)

Gabarito: letra C (40% a.a.). A TIR é a taxa que iguala o valor presente dos fluxos de entrada ao valor do investimento inicial. Com os dados (R$1,00 investido, retornos de R$1,46 ao final do 2º ano e R$0,98 ao final do 4º ano), monta-se a equação e resolve-se, obtendo-se exatamente 40% ao ano.

A banca testa a capacidade de estruturar e resolver a equação da TIR para um fluxo simples com dois recebimentos em tempos diferentes. O raciocínio é puramente matemático, com destaque para a substituição de variável que reduz a equação do 4º grau a uma equação do 2º grau.

Caso	Taxa testada (i)	Equação: 1000(1+i)^4 - 1460(1+i)^2 - 98 = 0	Resultado
1	30% (0,30)	1000(1,3)^4 - 1460(1,3)^2 - 98 = 2856,1 - 2467,4 - 98 = 290,7	Positivo (TIR > 30%)
2	35% (0,35)	1000(1,35)^4 - 1460(1,35)^2 - 98 = 3321,5 - 2660,85 - 98 = 562,65	Positivo (TIR > 35%)
3	40% (0,40)	1000(1,4)^4 - 1460(1,4)^2 - 98 = 3841,6 - 2861,6 - 98 = 882	Zero (TIR = 40%)
4	60% (0,60)	1000(1,6)^4 - 1460(1,6)^2 - 98 = 6553,6 - 3737,6 - 98 = 2718	Negativo (TIR < 60%)
5	96% (0,96)	1000(1,96)^4 - 1460(1,96)^2 - 98 = 14757,8 - 5608,16 - 98 = 9051,64	Negativo (TIR < 96%)

Alternativa A — ❌ Incorreta

30% a.a. A taxa de 30% não satisfaz a igualdade: ao testar, o valor presente dos retornos fica abaixo do investimento, ou seja, a TIR é maior que 30%.

Alternativa B — ❌ Incorreta

35% a.a. Também é inferior ao valor correto. A equação de 2º grau resultante aponta a raiz positiva como 1,96 para o quadrado do fator de capitalização.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

40% a.a. É a única que resolve a igualdade. A resolução no material de apoio mostra:

Cálculo (conforme solução do material):
Investimento inicial: R$1,00 (escalando para 1000 por conveniência). Equação: $1000 \cdot (1+i)^4 = 1460 \cdot (1+i)^2 + 98$ Seja $x = 1+i$ , então $1000x^4 - 1460x^2 - 98 = 0$ . Dividindo por 2: $500x^4 - 730x^2 - 49 = 0$ , ou melhor, fazendo $y = x^2$ , obtém-se $500y^2 - 730y - 49 = 0$ . Simplificando: $50y^2 - 73y - 49 = 0$ . Resolvendo a equação do 2º grau: $\Delta = (-73)^2 - 4 \cdot 50 \cdot (-49) = 5329 + 9800 = 15129$ , $\sqrt{\Delta} = 123$ . $y = \frac{73 \pm 123}{100}$ . A raiz positiva é $y = \frac{73+123}{100} = 1,96$ . Como $y = x^2$ , então $x^2 = 1,96 \Rightarrow x = 1,4$ (positivo). Portanto $1+i = 1,4 \Rightarrow i = 0,4 = 40\%$ a.a.

Alternativa D — ❌ Incorreta

60% a.a. Valor muito acima do calculado. Se aplicado 60%, os fluxos futuros descontados seriam inferiores ao investimento, indicando que a TIR verdadeira é menor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

96% a.a. Absurdo. Confunde o retorno nominal acumulado ao final de 4 anos (que seria de 44% sobre o investimento, não 96%) com a taxa anual.

PEGA ESSA DICA!

Para fluxos com intervalos não uniformes, a técnica de substituição de variável (como $y = x^2$ ) transforma a equação de grau elevado em uma equação quadrática. Sempre que os períodos forem múltiplos (aqui, os retornos ocorrem em anos 2 e 4, ambos múltiplos de 2), teste essa simplificação. Monte a equação de valor no momento zero e resolva passo a passo.

Gabarito: letra C