Matemática Financeira · FADESP · 2022 | Questão sqc-qq713956

Matemática Financeira – Taxa Aparente e Equivalência de Capitais

Gabarito: letra D. O valor de cada parcela é obtido trazendo os dois pagamentos para o presente com a taxa aparente (que incorpora a inflação) e igualando ao valor do empréstimo. A taxa aparente é calculada por $(1+i) = (1+0,03)\times(1+0,01) = 1,0403$ , ou seja, $4,03\%$ ao mês. A expressão que resolve corretamente o problema é $P = 10000 \times \frac{1,0403^{12}}{1 + 1,0403^{6}}$ .

A questão exige dois passos: (1) obter a taxa aparente a partir da taxa real e da inflação; (2) montar a equação de valor presente para as duas parcelas iguais (série uniforme de 2 termos, com prazos de 6 e 12 meses). O erro mais comum é usar a taxa nominal de $4\%$ (1,04) em vez da taxa efetiva de $4,03\%$ (1,0403).

NÃO CAIA NESSA!

A banca oferece alternativas com $1,04$ (alternativas A, B, E) para testar se o candidato confunde taxa nominal (soma simples: 3%+1%=4%) com a taxa efetiva (produto: 1,03×1,01=1,0403). A relação correta é $(1+i) = (1+r)(1+\inf)$ , nunca a soma direta.

Caso	Atribuição (taxa)	Expressão	Resultado
1	1,04 (nominal)	A: 5000 × 1,04⁸	Incorreto
2	1,04 (nominal)	B: (10000 − 5000 × 1,04⁶) × 1,04⁶	Incorreto
3	1,0403 (efetiva)	C: (10000 − 5000 × 1,0403⁶) × 1,0403⁶	Incorreto
4	1,0403 (efetiva)	D: 10000 × 1,0403¹² / (1 + 1,0403⁶)	Correto
5	1,04 (nominal)	E: 10000 × 1,04¹² / (1 + 1,04⁶)	Incorreto

1Taxa aparente (i)i = (1+r)(1+inf) = 1,0403
2Equação de valor presente10000 = P/1,0403⁶ + P/1,0403¹²
3Isolar PP = 10000 × 1,0403¹² / (1 + 1,0403⁶)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

$5000 \times 1,04^{8}$ . Não há fundamento para esse valor: divide o principal por 2 sem considerar juros, e o prazo de 8 períodos não corresponde à estrutura do problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(10000 - 5000 \times 1,04^{6}) \times 1,04^{6}$ . A lógica é confusa: subtrai um valor futuro de 5000 (que seria a primeira parcela se fosse $\frac{10000}{2}$ ) e capitaliza o resultado, mas ignora a taxa aparente correta e a estrutura de dois pagamentos iguais.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(10000 - 5000 \times 1,0403^{6}) \times 1,0403^{6}$ . Embora use a taxa correta $1,0403$ , a estrutura é a mesma de B, que não representa a equação de valor presente do fluxo de caixa.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$10000 \times \frac{1,0403^{12}}{1 + 1,0403^{6}}$ . Deduz-se da equação:

10000 = \frac{P}{1,0403^{6}} + \frac{P}{1,0403^{12}} = P \cdot \frac{1 + 1,0403^{6}}{1,0403^{12}}

Isolando $P$ , obtém-se exatamente a expressão da alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$10000 \times \frac{1,04^{12}}{1+1,04^{6}}$ . Usa a taxa nominal $1,04$ em vez da efetiva $1,0403$ , o que leva a um valor de parcela incorreto.

Gabarito: letra D. A expressão correta é a que utiliza a taxa aparente $4,03\%$ e estrutura o fluxo como dois pagamentos iguais trazidos a valor presente.