Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FADESP 2022

Juros compostos e inequação logarítmica

Gabarito: letra B. O montante do primeiro investimento é $M_1 = 50000 \cdot 1,25^n$ e do segundo é $M_2 = 10000 \cdot 1,28^n$. Para que $M_2$ ultrapasse $M_1$, temos $10000 \cdot 1,28^n > 50000 \cdot 1,25^n \Rightarrow (1,28/1,25)^n > 5 \Rightarrow (128/125)^n > 5$. Aplicando logaritmo: $n \cdot \log(128/125) > \log 5 \Rightarrow n > \dfrac{\log 5}{\log 128 - \log 125} = \dfrac{\log 5}{7\log 2 - 3\log 5}$. Essa é a expressão que dá o número de anos (não necessariamente inteiro) a partir do qual o segundo montante supera o primeiro. O gabarito oficial é a alternativa que contém essa expressão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Não corresponde à expressão deduzida.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Contém a expressão $n = \dfrac{\log 5}{7\log 2 - 3\log 5}$ (ou equivalente, como $n = \dfrac{1 - \log 2}{10\log 2 - 3}$).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Não corresponde à expressão correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Não corresponde à expressão correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Não corresponde à expressão correta.

\log(128/125) = \log(2^7) - \log(5^3) = 7\log 2 - 3\log 5$ e $ \log 5 = \log(10/2) = 1 - \log 2$ (se adotar logaritmo decimal).

Gabarito: letra B.