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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — INSTITUTO AOCP 2022

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
qq763060
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
PC-GO
Ano
2022
Nível
Superior
Cargo
Papiloscopista Policial da 3ª Classe
Em geral, para a identificação de um suspeito por suas digitais, é necessário que coincidam de 12 a 20 pontos característicos (dentre esses, estão ponto, bifurcação, encerro, forquilha e cortada). Suponha que sejam exatamente 20 os pontos característicos de uma impressão digital e que haja duas possibilidades de resposta à correspondência, a saber: “coincide” ou “não coincide”. Se alguém foi identificado por mais de 14 pontos característicos de suas digitais, podese dizer que o total de variações dos 20 pontos possíveis para que se identifique o suspeito com mais de 14 pontos é igual a
  1. A21700.
  2. B10000.
  3. C4500.
  4. D2215.
  5. E512.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 21700.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 21700 (alternativa A).

A ideia por trás

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que conta de quantas maneiras podemos escolher elementos de um conjunto sem se preocupar com a ordem. Quando a ordem não importa, usamos a combinação simples: escolher 3 pontos entre 20 é o mesmo que escolher os mesmos 3 em outra ordem. A fórmula da combinação é C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), que dá o número de subconjuntos de tamanho k que podemos formar a partir de n elementos. Essa fórmula cresce rapidamente: quanto maior o k, maior o número de combinações, até a metade, e depois diminui. Nesta questão, precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher 15, 16, 17, 18, 19 ou 20 pontos que coincidem, pois 'mais de 14' exclui exatamente 14 e inclui todos os valores de 15 a 20. Para isso, calculamos cada combinação separadamente e somamos os resultados.

O que a questão dá

  • 20 pontos característicos

  • identificação exige mais de 14 pontos coincidentes

O que queremos: o total de variações dos 20 pontos possíveis para identificar o suspeito com mais de 14 pontos

Passo 1 — Entender o que significa 'mais de 14'

Precisamos traduzir a condição do problema em termos de quantos pontos coincidem. 'Mais de 14' significa que o número de pontos coincidentes pode ser 15, 16, 17, 18, 19 ou 20. Não pode ser 14 ou menos. Isso define quais casos vamos contar.

NÃO CAIA NESSA!

Achar que 'mais de 14' inclui 14. Cuidado: 'mais de' significa estritamente maior, então 14 não entra.

Passo 2 — Escolher a fórmula de combinação

Agora que sabemos que precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher 15, 16, 17, 18, 19 ou 20 pontos entre 20, precisamos da ferramenta certa. Como a ordem dos pontos não importa (escolher os pontos 1,2,3 é o mesmo que 3,2,1), usamos a combinação simples, não o arranjo.

Por que esta fórmula: A combinação C(n,k) conta quantos subconjuntos de tamanho k podemos formar a partir de n elementos, sem considerar a ordem. É exatamente o que precisamos: escolher quais pontos coincidem.

Cn,k=n!k!(n−k)!C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

De onde vem cada valor: nn = enunciado: 20 pontos · kk = varia de 15 a 20, conforme o passo 1

NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (A(n,k)) em vez de combinação, o que daria valores muito maiores e errados.

Passo 3 — Calcular C(20,15)

Começamos pelo primeiro caso: escolher exatamente 15 pontos coincidentes. Usamos a fórmula da combinação com n=20 e k=15. Para facilitar, usamos a propriedade C(20,15) = C(20,5), pois escolher 15 para coincidir é o mesmo que escolher 5 para não coincidir.

Por que esta fórmula: A combinação é simétrica: C(n,k) = C(n, n-k). Isso simplifica o cálculo, pois 5! é menor que 15!.

C20,15=20!15!5!=20⋅19⋅18⋅17⋅165⋅4⋅3⋅2⋅1C_{20{,}15} = \frac{20!}{15!5!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 pontos · 1515 = passo 1: primeiro caso · 55 = 20 - 15 = 5

C20,15=20⋅19⋅18⋅17⋅165⋅4⋅3⋅2⋅1=15504C_{20{,}15} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \boxed{15504}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar e tentar calcular 20! diretamente, o que é inviável. Use a simplificação.

Passo 4 — Calcular C(20,16)

Agora o segundo caso: escolher 16 pontos coincidentes. Novamente usamos a simetria: C(20,16) = C(20,4).

Por que esta fórmula: Mesma justificativa: escolher 16 para coincidir é o mesmo que escolher 4 para não coincidir.

C20,16=20!16!4!=20⋅19⋅18⋅174⋅3⋅2⋅1C_{20{,}16} = \frac{20!}{16!4!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 pontos · 1616 = passo 1: segundo caso · 44 = 20 - 16 = 4

C20,16=20⋅19⋅18⋅174⋅3⋅2⋅1=4845C_{20{,}16} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \boxed{4845}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o denominador: usar 5! em vez de 4!.

Passo 5 — Calcular C(20,17)

Terceiro caso: escolher 17 pontos coincidentes. Usamos C(20,17) = C(20,3).

Por que esta fórmula: Simetria da combinação.

C20,17=20!17!3!=20⋅19⋅183⋅2⋅1C_{20{,}17} = \frac{20!}{17!3!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: 20 pontos · 1717 = passo 1: terceiro caso · 33 = 20 - 17 = 3

C20,17=20⋅19⋅183⋅2⋅1=1140C_{20{,}17} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \boxed{1140}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação: 201918/6 = 1140, mas alguns podem calcular 20193 = 1140, o que está certo, mas cuidado com a ordem.

Passo 6 — Calcular C(20,18), C(20,19) e C(20,20)

Faltam os casos 18, 19 e 20. Esses são mais simples, pois o denominador fica pequeno. Podemos calcular diretamente.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula, mas com k = 18, 19, 20. Para k=20, C(20,20)=1, pois só há uma maneira de escolher todos.

C20,18=20!18!2!=20⋅192,C20,19=20!19!1!=20,C20,20=20!20!0!=1C_{20{,}18} = \frac{20!}{18!2!} = \frac{20 \cdot 19}{2}, \quad C_{20{,}19} = \frac{20!}{19!1!} = 20, \quad C_{20{,}20} = \frac{20!}{20!0!} = 1

De onde vem cada valor: 2020 = passo 1: sexto caso · 1818 = passo 1: quarto caso · 1919 = passo 1: quinto caso

C20,18=20⋅192=190,C20,19=20,C20,20=1=190 ,20,1C_{20{,}18} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190, \quad C_{20{,}19} = 20, \quad C_{20{,}20} = 1 = \boxed{190\ , 20, 1}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que C(20,20)=1, não 0.

Passo 7 — Somar todos os casos

Agora que temos o número de maneiras para cada quantidade de pontos coincidentes (15 a 20), precisamos somar esses valores, pois a condição 'mais de 14' inclui todos esses casos. A soma total é o número de variações possíveis.

Por que esta fórmula: A soma é a aplicação do princípio aditivo: quando temos casos mutuamente exclusivos, somamos as contagens.

S=C20,15+C20,16+C20,17+C20,18+C20,19+C20,20S = C_{20{,}15} + C_{20{,}16} + C_{20{,}17} + C_{20{,}18} + C_{20{,}19} + C_{20{,}20}

De onde vem cada valor: C20,15C_{20{,}15} = passo 3: 15504 · C20,16C_{20{,}16} = passo 4: 4845 · C20,17C_{20{,}17} = passo 5: 1140 · C20,18C_{20{,}18} = passo 6: 190 · C20,19C_{20{,}19} = passo 6: 20 · C20,20C_{20{,}20} = passo 6: 1

S=15504+4845+1140+190+20+1=21700S = 15504 + 4845 + 1140 + 190 + 20 + 1 = \boxed{21700}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar algum termo, como C(20,20)=1, ou errar a soma.

Resposta: 21700 (alternativa A)

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