Matemática · INSTITUTO AOCP · 2022 | Questão sqc-qq763064

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática

Código: qq763064
Banca: INSTITUTO AOCP
Órgão: PC-GO
Ano: 2022
Nível: Superior

Cargo: Papiloscopista Policial da 3ª Classe

Dentre as atribuições do Papiloscopista Policial da 3ª Classe, estão a execução, orientação, supervisão e fiscalização de todos os trabalhos papiloscópicos de coleta, análise, classificação, subclassificação, pesquisa e arquivamento e a emissão de pareceres técnicos. Jonas é Papiloscopista Policial da 3ª Classe e deseja marcar sua agenda de afazeres com cores diferentes para cada uma das funções, isto é, deve escolher uma cor diferente para cada tópico listado:• execução;• orientação;• supervisão;• fiscalização;• coleta;• análise;• classificação;• subclassificação;• pesquisa e arquivamento;• emissão de pareceres técnicos.Considerando a disponibilidade de 10 cores diferentes, de quantas formas é possível que Jonas identifique os afazeres em sua agenda?

A10.
BEntre 11 e 50.
CEntre 51 e 100.
DEntre 101 e 150.
EMais de 150.

Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — Mais de 150.

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Análise Combinatória: Princípio Fundamental da Contagem (Permutação)

Gabarito: letra E. Jonas tem 10 afazeres distintos e 10 cores diferentes para associar a cada um, sem repetição. O número de formas de fazer essa associação é a permutação de 10 elementos, $P_{10} = 10! = 3.628.800$ , que é mais de 150 — exatamente o que a alternativa E afirma.

A questão é uma aplicação direta do Princípio Fundamental da Contagem (PFC), também chamado de princípio multiplicativo. Quando temos $n$ tarefas distintas e $n$ objetos distintos (as cores) para associar a cada tarefa, cada associação é uma permutação simples dos $n$ objetos. O número de permutações de $n$ elementos é $n!$ (fatorial de $n$ ), que é o produto de todos os inteiros de 1 até $n$ .

Aqui, temos 10 afazeres (execução, orientação, supervisão, fiscalização, coleta, análise, classificação, subclassificação, pesquisa e arquivamento, emissão de pareceres técnicos) e 10 cores. Para o primeiro afazer, há 10 opções de cor; para o segundo, 9; para o terceiro, 8; e assim por diante, até o último, que fica com a cor restante. Pelo PFC, multiplicamos as possibilidades:

10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 10! = 3.628.800

Esse número é claramente superior a 150, o que torna a alternativa E a correta. As demais alternativas apresentam intervalos que não contêm o valor calculado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não quer que você calcule $10!$ explicitamente — ela quer que você perceba que o resultado é muito maior do que qualquer intervalo pequeno. O candidato apressado pode pensar em "10 escolhas para 10 itens" e marcar a alternativa A (10), confundindo com uma simples contagem. Mas a ordem importa: cada cor é única e cada afazer recebe uma cor diferente, então é uma permutação, não uma combinação. Lembre-se: quando você tem $n$ itens e $n$ posições, o número de arranjos é $n!$ , que cresce rapidamente.

11º afazer: 10 cores
22º afazer: 9 cores
33º afazer: 8 cores
4… até o 10º: 1 cor
510! = 3.628.800

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que são 10 formas. Isso seria o número de cores disponíveis, não o número de associações possíveis. Ignora o princípio multiplicativo: para cada escolha de cor do primeiro afazer, há outras 9 para o segundo, e assim por diante. O valor 10 é apenas o total de cores, não o total de combinações.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado está entre 11 e 50. Isso seria plausível se houvesse poucas combinações, mas com 10 itens e 10 cores, o número de permutações é gigantesco. O intervalo é totalmente incompatível com $10!$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado está entre 51 e 100. Novamente, um intervalo pequeno demais. O crescimento fatorial é explosivo: $10! = 3.628.800$ , muito além de 100.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o resultado está entre 101 e 150. Ainda insuficiente. O valor correto é da ordem de milhões, não de centenas.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o resultado é mais de 150. De fato, $10! = 3.628.800$ , que é muito maior que 150. A alternativa está correta e é a resposta pedida.

Gabarito: letra E

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