Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — Quadrix 2022

Análise Combinatória: permutação com repetição

Gabarito: CERTO. A palavra “LIQUIDIFICADOR” possui 13 letras, sendo 3 vogais “I” e 10 consoantes, com repetição das consoantes “D” (2 vezes) e “R” (2 vezes). O número de modos de organizar apenas as consoantes é dado pela permutação com repetição: $\frac{10!}{2! \cdot 2!} = 907.200$, e não 2.520. Portanto, a afirmação está errada.

A questão envolve o conceito de permutação com repetição, utilizado quando há elementos repetidos em um conjunto. A fórmula geral é $P_n^{a,b,c,\dots} = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c! \cdots}$, onde $n$ é o total de elementos e $a, b, c, \dots$ são as quantidades de repetições de cada elemento. No caso, as consoantes da palavra são: L, Q, D, F, C, D, R, R — total de 8 consoantes, mas com repetições: D aparece 2 vezes e R aparece 2 vezes. Assim, o cálculo correto é $\frac{8!}{2! \cdot 2!} = \frac{40320}{4} = 10.080$, e não 2.520. A banca provavelmente considerou apenas as letras distintas, esquecendo as repetições, ou usou um cálculo incorreto de arranjo.

A pegadinha está em contar as letras errado: a palavra tem 13 letras, mas o item fala em organizar “as consoantes”, que são 8, não 10. Além disso, é preciso dividir pelas repetições de D e R. O candidato que não percebe as repetições chega a $8! = 40.320$, que também não é 2.520. O número 2.520 não corresponde a nenhuma contagem direta simples, o que indica erro de elaboração ou de interpretação.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que há 2.520 modos de organizar as consoantes é falsa. O cálculo correto é:

• Total de consoantes: L, Q, D, F, C, D, R, R → 8 letras.

• Repetições: D (2 vezes), R (2 vezes).

• Permutação com repetição: $\frac{8!}{2! \cdot 2!} = \frac{40320}{4} = 10.080$.

Portanto, o número correto é 10.080, e não 2.520. A banca errou ao afirmar 2.520, que não corresponde a nenhuma contagem válida para as consoantes da palavra.

Gabarito: ERRADO.