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Questão de Matemática — Geometria Espacial — Quadrix 2022

MatemáticaGeometria Espacial
Código
qq789013
Banca
Quadrix
Órgão
CREMERO
Ano
2022
Nível
Superior
Cargo
Controle Interno
Um liquidificador industrial possui formato cilíndrico e altura de 32 cm. O fabricante do produto recomenda que esse liquidificador só seja enchido até 78,125% de sua altura total, situação em que o volume ocupado dele é igual a 1,6 π litros. Ao utilizar esse produto para misturar uma bebida, um estudante percebeu que se formava um cone de ar em meio ao líquido, sendo a base desse cone paralela à base do liquidificador e estando a base do cone à mesma distância do fundo do liquidificador que os pontos mais altos de líquido. A altura do cone, por sua vez, variava com a velocidade do liquidificador. 
Com base nessa situação hipotética, julgue o item.Se tanto o líquido com o cone formado quanto o cone em si possuem altura de 12 cm, então há menos de 0,5π litros de líquido no liquidificador.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

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Geometria Espacial: volume do cilindro e do cone

Gabarito: ERRADO. Quando o líquido com o cone formado tem altura de 12 cm, o volume ocupado pelo líquido é de 0,5π litros, e não menos que isso. A afirmação do item é falsa porque o volume de líquido é exatamente igual ao limite citado, não inferior a ele.

Vamos entender o problema passo a passo. O liquidificador é um cilindro de altura 32 cm. O fabricante recomenda enchê-lo até 78,125% da altura, o que corresponde a 25 cm (pois 78,125% de 32 cm = 25 cm). Nessa situação, o volume ocupado é de 1,6π litros. Como o volume de um cilindro é dado por V=πr2hV = \pi r^2 h, podemos usar esses dados para descobrir o raio da base do liquidificador.

Primeiro, convertemos o volume para cm³, lembrando que 1 litro = 1000 cm³:

1,6π litros=1,6π×1000=1600π cm31{,}6\pi \text{ litros} = 1{,}6\pi \times 1000 = 1600\pi \text{ cm}^3

Agora aplicamos a fórmula do volume do cilindro com a altura de 25 cm:

1600π=πr2×251600\pi = \pi r^2 \times 25
r2=160025=64r^2 = \frac{1600}{25} = 64
r=8 cmr = 8 \text{ cm}

Portanto, o raio da base do liquidificador é 8 cm.

Agora, o estudante observa que se forma um cone de ar dentro do líquido. A base do cone é paralela à base do liquidificador e está à mesma distância do fundo que os pontos mais altos do líquido. Isso significa que o cone de ar tem o vértice voltado para baixo (para o fundo do liquidificador) e a base voltada para cima, na superfície do líquido.

O item afirma que tanto o líquido com o cone formado quanto o cone em si possuem altura de 12 cm. Vamos interpretar isso:

  • A altura do líquido (do fundo até a superfície) é de 12 cm.

  • A altura do cone de ar também é de 12 cm.

Como o cone de ar tem o vértice no fundo do liquidificador (ou próximo a ele) e a base na superfície do líquido, a altura do cone coincide com a altura do líquido. O volume do cone de ar é dado por:

Vcone=13πrcone2hconeV_{cone} = \frac{1}{3} \pi r_{cone}^2 h_{cone}

O raio da base do cone é o mesmo raio do cilindro na superfície do líquido, ou seja, 8 cm (pois o cone está inscrito no cilindro e sua base coincide com a seção circular do cilindro naquela altura). Assim:

Vcone=13π×82×12=13π×64×12=256π cm3V_{cone} = \frac{1}{3} \pi \times 8^2 \times 12 = \frac{1}{3} \pi \times 64 \times 12 = 256\pi \text{ cm}^3

O volume total ocupado pelo líquido e pelo cone de ar juntos (considerando a altura de 12 cm) é o volume do cilindro com altura de 12 cm:

Vcilindro 12=πr2h=π×82×12=768π cm3V_{cilindro\,12} = \pi r^2 h = \pi \times 8^2 \times 12 = 768\pi \text{ cm}^3

O volume de líquido é a diferença entre o volume total e o volume do cone de ar:

Vlıˊquido=768π−256π=512π cm3V_{líquido} = 768\pi - 256\pi = 512\pi \text{ cm}^3

Convertendo para litros:

512π cm3=512π1000 litros=0,512π litros512\pi \text{ cm}^3 = \frac{512\pi}{1000} \text{ litros} = 0{,}512\pi \text{ litros}

Esse valor é maior que 0,5π litros, não menor. Portanto, a afirmação de que há menos de 0,5π litros de líquido é falsa.

Caso

Volume de líquido (π L)

Comparação com 0,5π L

Resultado

Líquido com cone (altura 12 cm)

0,512π

0,512π > 0,5π

Afirmação falsa

Limite citado no item

0,5π

Igualdade exata

Não é o caso real

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa afirma que há menos de 0,5π litros de líquido no liquidificador. O cálculo mostra que o volume de líquido é de 0,512π litros, que é maior que 0,5π litros. O erro está em afirmar que o volume é inferior ao limite, quando na verdade é superior.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa correta é a que nega a afirmação do item. Como o volume de líquido é de 0,512π litros, que é maior que 0,5π litros, a afirmação de que há menos de 0,5π litros é falsa. Portanto, o item está errado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta confundir o candidato com o valor 0,5π litros. O cálculo correto resulta em 0,512π litros, que é um valor maior que 0,5π. O candidato pode ser induzido a pensar que, por ser um número próximo, o volume seria menor, mas a diferença de 0,012π litros é suficiente para tornar a afirmação falsa. Fique atento: sempre calcule o volume exato antes de comparar com o limite proposto.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver questões de geometria espacial com sólidos inscritos, lembre-se de que o volume do líquido é a diferença entre o volume do sólido maior (cilindro) e o volume do sólido menor (cone). Identifique corretamente as alturas e os raios envolvidos, e converta as unidades de volume (cm³ para litros) no final. Pratique questões que envolvam sólidos inscritos para ganhar familiaridade com esse tipo de raciocínio.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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