Questão de Matemática — Geometria Espacial — Quadrix 2022

Geometria Espacial: volume do cone

Gabarito: ERRADO. Com altura de 10 cm, o volume do cone é de 250π mL, que é menor que 214π mL? Não — 250π mL é maior que 214π mL. Portanto, a afirmação está correta? Vamos recalcular com atenção: o volume do cone é dado por $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Precisamos do raio da base do cone. O enunciado diz que a base do cone está à mesma distância do fundo que os pontos mais altos de líquido, ou seja, o cone tem a mesma altura que o líquido. Quando o liquidificador está com 78,125% da altura (25 cm), o volume é 1,6π L. Isso nos dá o raio do cilindro: $V = \pi r^2 h \Rightarrow 1,6\pi = \pi r^2 \cdot 25 \Rightarrow r^2 = 0,064 \Rightarrow r = 0,25$ m = 25 cm. Mas o cone se forma quando o líquido está a uma altura qualquer. A base do cone está na superfície do líquido, e o vértice no fundo? Não — o texto diz que a base do cone é paralela à base do liquidificador e está à mesma distância do fundo que os pontos mais altos de líquido. Isso significa que a base do cone está na superfície do líquido, e o vértice aponta para baixo, mas não necessariamente até o fundo. A altura do cone varia com a velocidade. Quando a altura do cone é 10 cm, o raio da base do cone é o mesmo raio do cilindro naquela altura? Não — o cone se forma dentro do líquido, e sua base coincide com a superfície livre do líquido, que tem o mesmo raio do cilindro (25 cm). Portanto, o volume do cone é $V = \frac{1}{3} \pi (25)^2 \cdot 10 = \frac{6250}{3} \pi$ cm³ = $\frac{6250}{3} \pi$ mL ≈ 6545π mL, que é muito maior que 214π mL. Mas isso parece absurdo, pois o cone não pode ter volume maior que o líquido. Vamos reinterpretar: o cone de ar tem a base na superfície do líquido e o vértice para baixo, mas a altura do cone é 10 cm, e o raio da base do cone é o raio do cilindro na altura da superfície, que é 25 cm. Então o volume do cone de ar é $V = \frac{1}{3} \pi (25)^2 \cdot 10 = \frac{6250}{3} \pi$ cm³ ≈ 6545π mL, que é maior que 214π mL. Portanto, a afirmação "o volume do cone será maior que 214π mL" é verdadeira. Mas o gabarito oficial é ERRADO. Vamos verificar se há outra interpretação: talvez o cone de ar tenha a base no fundo e o vértice para cima, mas o texto diz que a base do cone está à mesma distância do fundo que os pontos mais altos de líquido, ou seja, a base está na superfície. Então o vértice está para baixo, e a altura do cone é 10 cm. O raio da base do cone é o raio do cilindro na superfície, que é constante (25 cm). Então o volume é 6545π mL, que é maior que 214π mL. Mas isso não faz sentido físico, pois o cone de ar não pode ter volume maior que o líquido. Talvez o raio da base do cone não seja o raio do cilindro, mas sim um raio menor, que depende da altura do líquido. Mas o texto não fornece essa relação. Vamos tentar outra abordagem: o volume do líquido quando está a 78,125% da altura é 1,6π L = 1600π mL. A altura do líquido é 25 cm. O raio do cilindro é $r = \sqrt{\frac{1600\pi}{\pi \cdot 25}} = \sqrt{64} = 8$ cm. Ah! Errei a conversão: 1,6π litros = 1600π cm³ (pois 1 L = 1000 cm³). Então $1600\pi = \pi r^2 \cdot 25 \Rightarrow r^2 = 64 \Rightarrow r = 8$ cm. Agora, o cone de ar tem base na superfície do líquido, com raio 8 cm, e altura 10 cm. O volume do cone é $V = \frac{1}{3} \pi (8)^2 \cdot 10 = \frac{640}{3} \pi$ cm³ ≈ 213,33π mL. Isso é menor que 214π mL. Portanto, a afirmação "o volume do cone será maior que 214π mL" é falsa. O gabarito ERRADO está correto. A pegadinha está na conversão de litros para cm³ e no cálculo do raio.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmação de que o volume do cone será maior que 214π mL está errada. O volume calculado é $\frac{640}{3}\pi$ mL ≈ 213,33π mL, que é menor que 214π mL. O erro comum é não converter corretamente 1,6π litros para cm³ (1,6π L = 1600π cm³) e, assim, obter um raio errado do cilindro. Com o raio correto de 8 cm, o volume do cone com altura 10 cm é $\frac{640}{3}\pi$ mL, que fica abaixo do limite de 214π mL.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação é falsa, pois o volume do cone é $\frac{640}{3}\pi$ mL ≈ 213,33π mL, que é menor que 214π mL. Portanto, o item está errado. O cálculo correto envolve: (1) converter 1,6π L para 1600π cm³; (2) calcular o raio do cilindro: $r = \sqrt{\frac{1600\pi}{\pi \cdot 25}} = 8$ cm; (3) calcular o volume do cone com altura 10 cm: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 8^2 \cdot 10 = \frac{640}{3}\pi$ mL ≈ 213,33π mL, que é menor que 214π mL.

Gabarito: letra E