Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — RBO 2022

Sistema Francês de Amortização (Tabela Price)

Gabarito: letra C. O valor da amortização na terceira parcela é R$ 703,31. Isso porque no Sistema Francês as amortizações crescem em progressão geométrica de razão (1+i), sendo (i) a taxa de juros. Calcula-se a primeira amortização pela diferença entre o saldo devedor inicial e o saldo após o primeiro pagamento, e então aplica-se a fórmula do termo geral da PG.

Resolução passo a passo

1. Dados:

   • Empréstimo (E) = R$ 48.000,00

   • Taxa (i) = 2% a.m. = 0,02

   • Número de parcelas (n) = 60

   • Saldo devedor após 1ª parcela (SD₁) = R$ 47.324,00

1. Cálculo da primeira amortização (A₁):

   No primeiro mês, a prestação (P) é composta por juros (J₁) e amortização (A₁).

   (J_1 = i \times SD_0 = 0,02 \times 48.000 = R$ 960,00).

   O saldo devedor após o pagamento é (SD_1 = SD_0 - A_1 \Rightarrow A_1 = SD_0 - SD_1 = 48.000 - 47.324 = \mathbf{R$ 676,00}).

Alternativamente, poderíamos calcular a prestação constante P e depois A₁ = P - J₁, mas o saldo devedor já fornece A₁ diretamente.

1. Amortizações no SF são crescentes em PG:

   A fórmula do termo geral:

   [ A_n = A_1 \times (1+i)^{n-1} ]

   Para a terceira parcela (n=3):

   [ A_3 = 676 \times (1+0,02)^{2} = 676 \times 1,02^2 = 676 \times 1,0404 = \mathbf{703,3104} \approx \mathbf{R$\,703,31} ]

Portanto, a terceira amortização é R$ 703,31.

Análise das alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta (R$ 731,72)

Esse valor corresponderia a (A_1 \times (1+i)^3) ou a um cálculo com taxa ou período errado. Não atende à progressão geométrica correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta (R$ 717,37)

Resultado de (676 \times (1,02)^3) ou uso de ((1+i)^1) incorreto. O expoente para a terceira amortização é 2, não 3 nem 1.

Alternativa C — ✅ Correta (R$ 703,31) ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado.

Alternativa D — ❌ Incorreta (R$ 689,52)

Provável erro no cálculo de ( (1,02)^2 ) ou na primeira amortização. Se considerasse (A_1 = 676 \times (1,02)^0?) ou subtração equivocada.

Alternativa E — ❌ Incorreta (R$ 678,00)

Valor muito próximo de 676, talvez confundido com a primeira amortização ou com (A_1 \times 1,02) (segunda amortização). De fato, (A_2 = 676 \times 1,02 = 689,52), então essa alternativa (R$ 689,52) seria a segunda amortização, mas a questão pede a terceira.

Gabarito: letra C.