Matemática · FUNDATEC · 2023 | Questão sqc-qq890476

Multiplicação de polinômios

Gabarito: letra E. O produto $g(x) \cdot f(x) = (x^3 + 3)(x^2 - 3)$ resulta em $x^5 - 3x^3 + 3x^2 - 9$ , obtido pela aplicação da propriedade distributiva (cada termo de um polinômio multiplica todos os termos do outro).

A multiplicação de polinômios é uma operação fundamental da álgebra. A regra é simples: para multiplicar dois polinômios, multiplica-se cada termo do primeiro por todos os termos do segundo, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, e depois reduzem-se os termos semelhantes. No caso, temos:

(x^3 + 3)(x^2 - 3) = x^3 \cdot x^2 + x^3 \cdot (-3) + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot (-3)

Calculando cada produto de monômios (multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da parte literal):

$x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$
$x^3 \cdot (-3) = -3x^3$
$3 \cdot x^2 = 3x^2$
$3 \cdot (-3) = -9$

Somando os resultados, obtemos o polinômio reduzido:

x^5 - 3x^3 + 3x^2 - 9

A banca explora dois erros clássicos: esquecer de multiplicar todos os termos (o que levaria a $x^5 - 9$ , alternativa C) e errar o sinal de algum termo (o que levaria a $+9$ em vez de $-9$ , alternativa B). O candidato que domina a distributiva e a regra de sinais resolve em segundos.

1Distributiva (cada termo × todos)
2Multiplicar monômios (coef. + expoentes)
3Reduzir termos semelhantes

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O sinal do primeiro termo está trocado: $-x^5$ em vez de $x^5$ . O produto de $x^3$ por $x^2$ é positivo ( $x^5$ ), pois ambos os coeficientes são positivos. A alternativa também erra o sinal do termo $-3x^3$ (que deveria ser negativo, e está), mas o erro fatal é o sinal do termo de maior grau.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O termo independente está com sinal trocado: $+9$ em vez de $-9$ . O produto $3 \cdot (-3) = -9$ , pela regra de sinais (positivo × negativo = negativo). Todos os demais termos estão corretos, o que torna essa alternativa um distrator perigoso para quem erra apenas o último produto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Faltam os termos $-3x^3$ e $+3x^2$ . Isso acontece quando o aluno multiplica apenas os termos de maior grau ( $x^3 \cdot x^2 = x^5$ ) e os termos independentes ( $3 \cdot (-3) = -9$ ), esquecendo os produtos cruzados. A distributiva exige quatro produtos, não dois.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra o sinal do primeiro termo ( $-x^5$ em vez de $x^5$ ) e do termo independente ( $+9$ em vez de $-9$ ). É a alternativa que concentra os dois erros de sinal, sendo a mais distante da resposta correta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Reproduz exatamente o polinômio reduzido obtido pela distributiva: $x^5 - 3x^3 + 3x^2 - 9$ . Cada termo do primeiro polinômio multiplicou todos os termos do segundo, e os termos semelhantes foram reduzidos (não há termos semelhantes neste caso, pois os expoentes são todos distintos).

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca os sinais dos termos para confundir. O erro mais comum é errar o sinal do termo independente: $3 \cdot (-3) = -9$ , não $+9$ . Outro erro frequente é esquecer os produtos cruzados, caindo na alternativa C. Sempre confira os quatro produtos da distributiva e a regra de sinais em cada um.

PEGA ESSA DICA!

Para conferir rapidamente, use o grau do polinômio: o produto de um polinômio de grau 3 por um de grau 2 tem grau 5 (soma dos graus). Isso elimina alternativas com grau errado, mas aqui todas têm grau 5 — então a conferência deve ser nos coeficientes e sinais. Resolva a distributiva com calma e reduza os termos semelhantes.

Gabarito: letra E